Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122226 / 115938
↖ ↑ ↗
← S 79.797718°
E155.703735°		 ← 54.10 m → S 79.797718°
E155.706482°		 →
↑
54.09 m
↓
↑
54.09 m
↓
S 79.798205°
E155.703735°		 ← 54.10 m →
2 926 m²		 S 79.798205°
E155.706482°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122226 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115938 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.932514190673828 y=0.884540557861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.932514190673828 × 217)
    floor (0.932514190673828 × 131072)
    floor (122226.5)     		tx = 122226
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.884540557861328 × 217)
    floor (0.884540557861328 × 131072)
    floor (115938.5)     		ty = 115938
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122226 / 115938 ti = "17/122226/115938"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122226/115938.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122226 ÷ 217
    122226 ÷ 131072     		x = 0.932510375976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115938 ÷ 217
    115938 ÷ 131072     		y = 0.884536743164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.932510375976562 × 2 - 1) × π
    0.865020751953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.71754284
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.884536743164062 × 2 - 1) × π
    -0.769073486328125 × 3.1415926535     		Φ = -2.41611561465007
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71754284} λ = 2.71754284}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41611561465007))-π/2
    2×atan(0.0892676950016575)-π/2
    2×0.0890317058344372-π/2
    0.178063411668874-1.57079632675     		φ = -1.39273292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71754284} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.703735°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39273292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.797718°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122226 KachelY 115938 2.71754284 -1.39273292 155.703735 -79.797718
    Oben rechts KachelX + 1 122227 KachelY 115938 2.71759078 -1.39273292 155.706482 -79.797718
    Unten links KachelX 122226 KachelY + 1 115939 2.71754284 -1.39274141 155.703735 -79.798205
    Unten rechts KachelX + 1 122227 KachelY + 1 115939 2.71759078 -1.39274141 155.706482 -79.798205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39273292--1.39274141) × R
    8.48999999991662e-06 × 6371000     		dl = 54.0897899994688m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39273292--1.39274141) × R
    8.48999999991662e-06 × 6371000     		dr = 54.0897899994688m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71754284-2.71759078) × cos(-1.39273292) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177123933890881 × 6371000     		do = 54.0982085802979m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71754284-2.71759078) × cos(-1.39274141) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177115578123664 × 6371000     		du = 54.0956565139126m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39273292)-sin(-1.39274141))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177123933890881-0.177115578123664)×R²
    abs(2.71759078-2.71754284)×8.35576721641695e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.35576721641695e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.35576721641695e-06×40589641000000     		ar = 2926.09172105657m²