Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 122225 / 115937
↖ ↑ ↗
← S 79.797231°
E155.700989°		 ← 54.10 m → S 79.797231°
E155.703735°		 →
↑
54.15 m
↓
↑
54.15 m
↓
S 79.797718°
E155.700989°		 ← 54.10 m →
2 930 m²		 S 79.797718°
E155.703735°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115937 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.932506561279297 y=0.884532928466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.932506561279297 × 217)
    floor (0.932506561279297 × 131072)
    floor (122225.5)     		tx = 122225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.884532928466797 × 217)
    floor (0.884532928466797 × 131072)
    floor (115937.5)     		ty = 115937
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122225 / 115937 ti = "17/122225/115937"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122225/115937.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122225 ÷ 217
    122225 ÷ 131072     		x = 0.932502746582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115937 ÷ 217
    115937 ÷ 131072     		y = 0.884529113769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.932502746582031 × 2 - 1) × π
    0.865005493164062 × 3.1415926535     		Λ = 2.71749490
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.884529113769531 × 2 - 1) × π
    -0.769058227539062 × 3.1415926535     		Φ = -2.41606767775045
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71749490} λ = 2.71749490}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41606767775045))-π/2
    2×atan(0.0892719743207599)-π/2
    2×0.0890359513208197-π/2
    0.178071902641639-1.57079632675     		φ = -1.39272442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71749490} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.700989°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39272442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.797231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122225 KachelY 115937 2.71749490 -1.39272442 155.700989 -79.797231
    Oben rechts KachelX + 1 122226 KachelY 115937 2.71754284 -1.39272442 155.703735 -79.797231
    Unten links KachelX 122225 KachelY + 1 115938 2.71749490 -1.39273292 155.700989 -79.797718
    Unten rechts KachelX + 1 122226 KachelY + 1 115938 2.71754284 -1.39273292 155.703735 -79.797718
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39272442--1.39273292) × R
    8.50000000007789e-06 × 6371000     		dl = 54.1535000004962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39272442--1.39273292) × R
    8.50000000007789e-06 × 6371000     		dr = 54.1535000004962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71749490-2.71754284) × cos(-1.39272442) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177132299487201 × 6371000     		do = 54.1007636487445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71749490-2.71754284) × cos(-1.39273292) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177123933890881 × 6371000     		du = 54.0982085802979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39272442)-sin(-1.39273292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177132299487201-0.177123933890881)×R²
    abs(2.71754284-2.71749490)×8.36559631994804e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.36559631994804e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.36559631994804e-06×40589641000000     		ar = 2929.67652143251m²