Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122216 / 115928
↖ ↑ ↗
← S 79.792852°
E155.676270°		 ← 54.12 m → S 79.792852°
E155.679016°		 →
↑
54.09 m
↓
↑
54.09 m
↓
S 79.793339°
E155.676270°		 ← 54.12 m →
2 927 m²		 S 79.793339°
E155.679016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115928 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.932437896728516 y=0.884464263916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.932437896728516 × 217)
    floor (0.932437896728516 × 131072)
    floor (122216.5)     		tx = 122216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.884464263916016 × 217)
    floor (0.884464263916016 × 131072)
    floor (115928.5)     		ty = 115928
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122216 / 115928 ti = "17/122216/115928"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122216/115928.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122216 ÷ 217
    122216 ÷ 131072     		x = 0.93243408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115928 ÷ 217
    115928 ÷ 131072     		y = 0.88446044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93243408203125 × 2 - 1) × π
    0.8648681640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.71706347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.88446044921875 × 2 - 1) × π
    -0.7689208984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.41563624565387
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71706347} λ = 2.71706347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41563624565387))-π/2
    2×atan(0.0893104974252614)-π/2
    2×0.08907416971295-π/2
    0.1781483394259-1.57079632675     		φ = -1.39264799
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71706347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.676270°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39264799 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.792852°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122216 KachelY 115928 2.71706347 -1.39264799 155.676270 -79.792852
    Oben rechts KachelX + 1 122217 KachelY 115928 2.71711141 -1.39264799 155.679016 -79.792852
    Unten links KachelX 122216 KachelY + 1 115929 2.71706347 -1.39265648 155.676270 -79.793339
    Unten rechts KachelX + 1 122217 KachelY + 1 115929 2.71711141 -1.39265648 155.679016 -79.793339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39264799--1.39265648) × R
    8.49000000013866e-06 × 6371000     		dl = 54.0897900008834m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39264799--1.39265648) × R
    8.49000000013866e-06 × 6371000     		dr = 54.0897900008834m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71706347-2.71711141) × cos(-1.39264799) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177207520385961 × 6371000     		do = 54.1237380474116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71706347-2.71711141) × cos(-1.39265648) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177199164746487 × 6371000     		du = 54.1211860200423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39264799)-sin(-1.39265648))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177207520385961-0.177199164746487)×R²
    abs(2.71711141-2.71706347)×8.35563947326756e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.35563947326756e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.35563947326756e-06×40589641000000     		ar = 2927.47260564408m²