Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 122216 / 115687
↖ ↑ ↗
← S 79.674884°
E155.676270°		 ← 54.74 m → S 79.674884°
E155.679016°		 →
↑
54.79 m
↓
↑
54.79 m
↓
S 79.675377°
E155.676270°		 ← 54.74 m →
2 999 m²		 S 79.675377°
E155.679016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115687 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.932437896728516 y=0.882625579833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.932437896728516 × 217)
    floor (0.932437896728516 × 131072)
    floor (122216.5)     		tx = 122216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.882625579833984 × 217)
    floor (0.882625579833984 × 131072)
    floor (115687.5)     		ty = 115687
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122216 / 115687 ti = "17/122216/115687"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122216/115687.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122216 ÷ 217
    122216 ÷ 131072     		x = 0.93243408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115687 ÷ 217
    115687 ÷ 131072     		y = 0.882621765136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93243408203125 × 2 - 1) × π
    0.8648681640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.71706347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.882621765136719 × 2 - 1) × π
    -0.765243530273438 × 3.1415926535     		Φ = -2.40408345284544
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71706347} λ = 2.71706347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40408345284544))-π/2
    2×atan(0.0903482661186836)-π/2
    2×0.0901036312644868-π/2
    0.180207262528974-1.57079632675     		φ = -1.39058906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71706347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.676270°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39058906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.674884°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122216 KachelY 115687 2.71706347 -1.39058906 155.676270 -79.674884
    Oben rechts KachelX + 1 122217 KachelY 115687 2.71711141 -1.39058906 155.679016 -79.674884
    Unten links KachelX 122216 KachelY + 1 115688 2.71706347 -1.39059766 155.676270 -79.675377
    Unten rechts KachelX + 1 122217 KachelY + 1 115688 2.71711141 -1.39059766 155.679016 -79.675377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39058906--1.39059766) × R
    8.60000000013628e-06 × 6371000     		dl = 54.7906000008682m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39058906--1.39059766) × R
    8.60000000013628e-06 × 6371000     		dr = 54.7906000008682m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71706347-2.71711141) × cos(-1.39058906) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.179233487707735 × 6371000     		do = 54.74252061588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71706347-2.71711141) × cos(-1.39059766) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.17922502696465 × 6371000     		du = 54.7399364871623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39058906)-sin(-1.39059766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179233487707735-0.17922502696465)×R²
    abs(2.71711141-2.71706347)×8.46074308508138e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.46074308508138e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.46074308508138e-06×40589641000000     		ar = 2999.30475713666m²