Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122213 / 115686
↖ ↑ ↗
← S 79.674392°
E155.668030°		 ← 54.75 m → S 79.674392°
E155.670777°		 →
↑
54.73 m
↓
↑
54.73 m
↓
S 79.674884°
E155.668030°		 ← 54.74 m →
2 996 m²		 S 79.674884°
E155.670777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.932415008544922 y=0.882617950439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.932415008544922 × 217)
    floor (0.932415008544922 × 131072)
    floor (122213.5)     		tx = 122213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.882617950439453 × 217)
    floor (0.882617950439453 × 131072)
    floor (115686.5)     		ty = 115686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122213 / 115686 ti = "17/122213/115686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122213/115686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122213 ÷ 217
    122213 ÷ 131072     		x = 0.932411193847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115686 ÷ 217
    115686 ÷ 131072     		y = 0.882614135742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.932411193847656 × 2 - 1) × π
    0.864822387695312 × 3.1415926535     		Λ = 2.71691966
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.882614135742188 × 2 - 1) × π
    -0.765228271484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.40403551594582
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71691966} λ = 2.71691966}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40403551594582))-π/2
    2×atan(0.0903525972382568)-π/2
    2×0.090107927314542-π/2
    0.180215854629084-1.57079632675     		φ = -1.39058047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71691966} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.668030°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39058047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.674392°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122213 KachelY 115686 2.71691966 -1.39058047 155.668030 -79.674392
    Oben rechts KachelX + 1 122214 KachelY 115686 2.71696760 -1.39058047 155.670777 -79.674392
    Unten links KachelX 122213 KachelY + 1 115687 2.71691966 -1.39058906 155.668030 -79.674884
    Unten rechts KachelX + 1 122214 KachelY + 1 115687 2.71696760 -1.39058906 155.670777 -79.674884
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39058047--1.39058906) × R
    8.58999999997501e-06 × 6371000     		dl = 54.7268899998408m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39058047--1.39058906) × R
    8.58999999997501e-06 × 6371000     		dr = 54.7268899998408m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71691966-2.71696760) × cos(-1.39058047) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.179241938599514 × 6371000     		do = 54.7451017357551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71691966-2.71696760) × cos(-1.39058906) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.179233487707735 × 6371000     		du = 54.74252061588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39058047)-sin(-1.39058906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179241938599514-0.179233487707735)×R²
    abs(2.71696760-2.71691966)×8.45089177861635e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.45089177861635e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.45089177861635e-06×40589641000000     		ar = 2995.95853249688m²