Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122210 / 115683
↖ ↑ ↗
← S 79.672915°
E155.659790°		 ← 54.75 m → S 79.672915°
E155.662537°		 →
↑
54.79 m
↓
↑
54.79 m
↓
S 79.673408°
E155.659790°		 ← 54.75 m →
3 000 m²		 S 79.673408°
E155.662537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115683 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.932392120361328 y=0.882595062255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.932392120361328 × 217)
    floor (0.932392120361328 × 131072)
    floor (122210.5)     		tx = 122210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.882595062255859 × 217)
    floor (0.882595062255859 × 131072)
    floor (115683.5)     		ty = 115683
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122210 / 115683 ti = "17/122210/115683"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122210/115683.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122210 ÷ 217
    122210 ÷ 131072     		x = 0.932388305664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115683 ÷ 217
    115683 ÷ 131072     		y = 0.882591247558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.932388305664062 × 2 - 1) × π
    0.864776611328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.71677585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.882591247558594 × 2 - 1) × π
    -0.765182495117188 × 3.1415926535     		Φ = -2.40389170524696
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71677585} λ = 2.71677585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40389170524696))-π/2
    2×atan(0.0903655918427686)-π/2
    2×0.090120816680398-π/2
    0.180241633360796-1.57079632675     		φ = -1.39055469
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71677585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.659790°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39055469 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.672915°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122210 KachelY 115683 2.71677585 -1.39055469 155.659790 -79.672915
    Oben rechts KachelX + 1 122211 KachelY 115683 2.71682379 -1.39055469 155.662537 -79.672915
    Unten links KachelX 122210 KachelY + 1 115684 2.71677585 -1.39056329 155.659790 -79.673408
    Unten rechts KachelX + 1 122211 KachelY + 1 115684 2.71682379 -1.39056329 155.662537 -79.673408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39055469--1.39056329) × R
    8.59999999991423e-06 × 6371000     		dl = 54.7905999994536m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39055469--1.39056329) × R
    8.59999999991423e-06 × 6371000     		dr = 54.7905999994536m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71677585-2.71682379) × cos(-1.39055469) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.179267301033495 × 6371000     		do = 54.7528480759222m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71677585-2.71682379) × cos(-1.39056329) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.179258840343392 × 6371000     		du = 54.7502639633866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39055469)-sin(-1.39056329))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179267301033495-0.179258840343392)×R²
    abs(2.71682379-2.71677585)×8.46069010296269e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.46069010296269e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.46069010296269e-06×40589641000000     		ar = 2999.87060510254m²