Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122209 / 115681
↖ ↑ ↗
← S 79.671931°
E155.657043°		 ← 54.76 m → S 79.671931°
E155.659790°		 →
↑
54.73 m
↓
↑
54.73 m
↓
S 79.672423°
E155.657043°		 ← 54.76 m →
2 997 m²		 S 79.672423°
E155.659790°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115681 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.932384490966797 y=0.882579803466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.932384490966797 × 217)
    floor (0.932384490966797 × 131072)
    floor (122209.5)     		tx = 122209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.882579803466797 × 217)
    floor (0.882579803466797 × 131072)
    floor (115681.5)     		ty = 115681
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122209 / 115681 ti = "17/122209/115681"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122209/115681.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122209 ÷ 217
    122209 ÷ 131072     		x = 0.932380676269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115681 ÷ 217
    115681 ÷ 131072     		y = 0.882575988769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.932380676269531 × 2 - 1) × π
    0.864761352539062 × 3.1415926535     		Λ = 2.71672791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.882575988769531 × 2 - 1) × π
    -0.765151977539062 × 3.1415926535     		Φ = -2.40379583144772
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71672791} λ = 2.71672791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40379583144772))-π/2
    2×atan(0.090374255950703)-π/2
    2×0.0901294106041364-π/2
    0.180258821208273-1.57079632675     		φ = -1.39053751
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71672791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.657043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39053751 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.671931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122209 KachelY 115681 2.71672791 -1.39053751 155.657043 -79.671931
    Oben rechts KachelX + 1 122210 KachelY 115681 2.71677585 -1.39053751 155.659790 -79.671931
    Unten links KachelX 122209 KachelY + 1 115682 2.71672791 -1.39054610 155.657043 -79.672423
    Unten rechts KachelX + 1 122210 KachelY + 1 115682 2.71677585 -1.39054610 155.659790 -79.672423
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39053751--1.39054610) × R
    8.58999999997501e-06 × 6371000     		dl = 54.7268899998408m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39053751--1.39054610) × R
    8.58999999997501e-06 × 6371000     		dr = 54.7268899998408m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71672791-2.71677585) × cos(-1.39053751) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.179284202697979 × 6371000     		do = 54.7580102793042m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71672791-2.71677585) × cos(-1.39054610) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.179275751872351 × 6371000     		du = 54.7554291796334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39053751)-sin(-1.39054610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179284202697979-0.179275751872351)×R²
    abs(2.71677585-2.71672791)×8.45082562733745e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.45082562733745e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.45082562733745e-06×40589641000000     		ar = 2996.6649775594m²