Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122198 / 115908
↖ ↑ ↗
← S 79.783113°
E155.626831°		 ← 54.16 m → S 79.783113°
E155.629577°		 →
↑
54.15 m
↓
↑
54.15 m
↓
S 79.783600°
E155.626831°		 ← 54.16 m →
2 933 m²		 S 79.783600°
E155.629577°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122198 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115908 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.932300567626953 y=0.884311676025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.932300567626953 × 217)
    floor (0.932300567626953 × 131072)
    floor (122198.5)     		tx = 122198
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.884311676025391 × 217)
    floor (0.884311676025391 × 131072)
    floor (115908.5)     		ty = 115908
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122198 / 115908 ti = "17/122198/115908"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122198/115908.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122198 ÷ 217
    122198 ÷ 131072     		x = 0.932296752929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115908 ÷ 217
    115908 ÷ 131072     		y = 0.884307861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.932296752929688 × 2 - 1) × π
    0.864593505859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.71620061
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.884307861328125 × 2 - 1) × π
    -0.76861572265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.41467750766147
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71620061} λ = 2.71620061}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41467750766147))-π/2
    2×atan(0.0893961638515301)-π/2
    2×0.0891591575944188-π/2
    0.178318315188838-1.57079632675     		φ = -1.39247801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71620061} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.626831°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39247801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.783113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122198 KachelY 115908 2.71620061 -1.39247801 155.626831 -79.783113
    Oben rechts KachelX + 1 122199 KachelY 115908 2.71624854 -1.39247801 155.629577 -79.783113
    Unten links KachelX 122198 KachelY + 1 115909 2.71620061 -1.39248651 155.626831 -79.783600
    Unten rechts KachelX + 1 122199 KachelY + 1 115909 2.71624854 -1.39248651 155.629577 -79.783600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39247801--1.39248651) × R
    8.49999999985585e-06 × 6371000     		dl = 54.1534999990816m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39247801--1.39248651) × R
    8.49999999985585e-06 × 6371000     		dr = 54.1534999990816m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71620061-2.71624854) × cos(-1.39247801) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.177374807638074 × 6371000     		do = 54.1635313312549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71620061-2.71624854) × cos(-1.39248651) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.177366442413 × 6371000     		du = 54.160976909145m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39247801)-sin(-1.39248651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177374807638074-0.177366442413)×R²
    abs(2.71624854-2.71620061)×8.36522507360882e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.36522507360882e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.36522507360882e-06×40589641000000     		ar = 2933.07562847337m²