Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122197 / 115907
↖ ↑ ↗
← S 79.782626°
E155.624085°		 ← 54.18 m → S 79.782626°
E155.626831°		 →
↑
54.15 m
↓
↑
54.15 m
↓
S 79.783113°
E155.624085°		 ← 54.17 m →
2 934 m²		 S 79.783113°
E155.626831°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122197 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.932292938232422 y=0.884304046630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.932292938232422 × 217)
    floor (0.932292938232422 × 131072)
    floor (122197.5)     		tx = 122197
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.884304046630859 × 217)
    floor (0.884304046630859 × 131072)
    floor (115907.5)     		ty = 115907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122197 / 115907 ti = "17/122197/115907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122197/115907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122197 ÷ 217
    122197 ÷ 131072     		x = 0.932289123535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115907 ÷ 217
    115907 ÷ 131072     		y = 0.884300231933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.932289123535156 × 2 - 1) × π
    0.864578247070312 × 3.1415926535     		Λ = 2.71615267
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.884300231933594 × 2 - 1) × π
    -0.768600463867188 × 3.1415926535     		Φ = -2.41462957076185
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71615267} λ = 2.71615267}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41462957076185))-π/2
    2×atan(0.0894004493291785)-π/2
    2×0.0891634090938405-π/2
    0.178326818187681-1.57079632675     		φ = -1.39246951
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71615267} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.624085°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39246951 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.782626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122197 KachelY 115907 2.71615267 -1.39246951 155.624085 -79.782626
    Oben rechts KachelX + 1 122198 KachelY 115907 2.71620061 -1.39246951 155.626831 -79.782626
    Unten links KachelX 122197 KachelY + 1 115908 2.71615267 -1.39247801 155.624085 -79.783113
    Unten rechts KachelX + 1 122198 KachelY + 1 115908 2.71620061 -1.39247801 155.626831 -79.783113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39246951--1.39247801) × R
    8.50000000007789e-06 × 6371000     		dl = 54.1535000004962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39246951--1.39247801) × R
    8.50000000007789e-06 × 6371000     		dr = 54.1535000004962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71615267-2.71620061) × cos(-1.39246951) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177383172850332 × 6371000     		do = 54.1773868313251m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71615267-2.71620061) × cos(-1.39247801) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177374807638074 × 6371000     		du = 54.1748318801808m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39246951)-sin(-1.39247801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177383172850332-0.177374807638074)×R²
    abs(2.71620061-2.71615267)×8.36521225847098e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.36521225847098e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.36521225847098e-06×40589641000000     		ar = 2933.82593816063m²