Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12219 / 20315
↖ ↑ ↗
← S 39.597223°
W 45.758057°		 ← 941.33 m → S 39.597223°
W 45.747070°		 →
↑
941.25 m
↓
↑
941.25 m
↓
S 39.605688°
W 45.758057°		 ← 941.21 m →
885 971 m²		 S 39.605688°
W 45.747070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372909545898438 y=0.619979858398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372909545898438 × 215)
    floor (0.372909545898438 × 32768)
    floor (12219.5)     		tx = 12219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619979858398438 × 215)
    floor (0.619979858398438 × 32768)
    floor (20315.5)     		ty = 20315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12219 / 20315 ti = "15/12219/20315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12219/20315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12219 ÷ 215
    12219 ÷ 32768     		x = 0.372894287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20315 ÷ 215
    20315 ÷ 32768     		y = 0.619964599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372894287109375 × 2 - 1) × π
    -0.25421142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.79862875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619964599609375 × 2 - 1) × π
    -0.23992919921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.753759809625763
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79862875} λ = -0.79862875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.753759809625763))-π/2
    2×atan(0.470593878975308)-π/2
    2×0.439847203269894-π/2
    0.879694406539788-1.57079632675     		φ = -0.69110192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79862875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.758057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69110192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.597223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12219 KachelY 20315 -0.79862875 -0.69110192 -45.758057 -39.597223
    Oben rechts KachelX + 1 12220 KachelY 20315 -0.79843700 -0.69110192 -45.747070 -39.597223
    Unten links KachelX 12219 KachelY + 1 20316 -0.79862875 -0.69124966 -45.758057 -39.605688
    Unten rechts KachelX + 1 12220 KachelY + 1 20316 -0.79843700 -0.69124966 -45.747070 -39.605688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69110192--0.69124966) × R
    0.000147739999999952 × 6371000     		dl = 941.251539999693m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69110192--0.69124966) × R
    0.000147739999999952 × 6371000     		dr = 941.251539999693m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79862875--0.79843700) × cos(-0.69110192) × R
    0.000191750000000046 × 0.770544133853134 × 6371000     		do = 941.326957772468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79862875--0.79843700) × cos(-0.69124966) × R
    0.000191750000000046 × 0.770449957940872 × 6371000     		du = 941.211908781645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69110192)-sin(-0.69124966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.770544133853134-0.770449957940872)×R²
    abs(-0.79843700--0.79862875)×9.41759122612407e-05×R²
    0.000191750000000046×9.41759122612407e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.41759122612407e-05×40589641000000     		ar = 885971.305237796m²