Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12218 / 20341
↖ ↑ ↗
← S 39.816975°
W 45.769043°		 ← 938.33 m → S 39.816975°
W 45.758057°		 →
↑
938.26 m
↓
↑
938.26 m
↓
S 39.825413°
W 45.769043°		 ← 938.22 m →
880 344 m²		 S 39.825413°
W 45.758057°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12218 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372879028320312 y=0.620773315429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372879028320312 × 215)
    floor (0.372879028320312 × 32768)
    floor (12218.5)     		tx = 12218
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620773315429688 × 215)
    floor (0.620773315429688 × 32768)
    floor (20341.5)     		ty = 20341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12218 / 20341 ti = "15/12218/20341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12218/20341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12218 ÷ 215
    12218 ÷ 32768     		x = 0.37286376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20341 ÷ 215
    20341 ÷ 32768     		y = 0.620758056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37286376953125 × 2 - 1) × π
    -0.2542724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.79882050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620758056640625 × 2 - 1) × π
    -0.24151611328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.758745247186249
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79882050} λ = -0.79882050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.758745247186249))-π/2
    2×atan(0.468253601077216)-π/2
    2×0.437929506648968-π/2
    0.875859013297936-1.57079632675     		φ = -0.69493731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79882050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.769043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69493731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.816975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12218 KachelY 20341 -0.79882050 -0.69493731 -45.769043 -39.816975
    Oben rechts KachelX + 1 12219 KachelY 20341 -0.79862875 -0.69493731 -45.758057 -39.816975
    Unten links KachelX 12218 KachelY + 1 20342 -0.79882050 -0.69508458 -45.769043 -39.825413
    Unten rechts KachelX + 1 12219 KachelY + 1 20342 -0.79862875 -0.69508458 -45.758057 -39.825413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69493731--0.69508458) × R
    0.000147269999999922 × 6371000     		dl = 938.257169999501m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69493731--0.69508458) × R
    0.000147269999999922 × 6371000     		dr = 938.257169999501m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79882050--0.79862875) × cos(-0.69493731) × R
    0.000191750000000046 × 0.768093846046007 × 6371000     		do = 938.333590013485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79882050--0.79862875) × cos(-0.69508458) × R
    0.000191750000000046 × 0.767999535244415 × 6371000     		du = 938.218376236562m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69493731)-sin(-0.69508458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.768093846046007-0.767999535244415)×R²
    abs(-0.79862875--0.79882050)×9.43108015917238e-05×R²
    0.000191750000000046×9.43108015917238e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.43108015917238e-05×40589641000000     		ar = 880344.170196989m²