Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122167 / 115751
↖ ↑ ↗
← S 79.706343°
E155.541687°		 ← 54.58 m → S 79.706343°
E155.544434°		 →
↑
54.54 m
↓
↑
54.54 m
↓
S 79.706833°
E155.541687°		 ← 54.57 m →
2 976 m²		 S 79.706833°
E155.544434°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122167 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115751 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.932064056396484 y=0.883113861083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.932064056396484 × 217)
    floor (0.932064056396484 × 131072)
    floor (122167.5)     		tx = 122167
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883113861083984 × 217)
    floor (0.883113861083984 × 131072)
    floor (115751.5)     		ty = 115751
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122167 / 115751 ti = "17/122167/115751"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122167/115751.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122167 ÷ 217
    122167 ÷ 131072     		x = 0.932060241699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115751 ÷ 217
    115751 ÷ 131072     		y = 0.883110046386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.932060241699219 × 2 - 1) × π
    0.864120483398438 × 3.1415926535     		Λ = 2.71471456
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883110046386719 × 2 - 1) × π
    -0.766220092773438 × 3.1415926535     		Φ = -2.40715141442112
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71471456} λ = 2.71471456}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40715141442112))-π/2
    2×atan(0.0900715058717846)-π/2
    2×0.0898291050650493-π/2
    0.179658210130099-1.57079632675     		φ = -1.39113812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71471456} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.541687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39113812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.706343°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122167 KachelY 115751 2.71471456 -1.39113812 155.541687 -79.706343
    Oben rechts KachelX + 1 122168 KachelY 115751 2.71476250 -1.39113812 155.544434 -79.706343
    Unten links KachelX 122167 KachelY + 1 115752 2.71471456 -1.39114668 155.541687 -79.706833
    Unten rechts KachelX + 1 122168 KachelY + 1 115752 2.71476250 -1.39114668 155.544434 -79.706833
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39113812--1.39114668) × R
    8.56000000015733e-06 × 6371000     		dl = 54.5357600010024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39113812--1.39114668) × R
    8.56000000015733e-06 × 6371000     		dr = 54.5357600010024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71471456-2.71476250) × cos(-1.39113812) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178693291885943 × 6371000     		do = 54.5775309072644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71471456-2.71476250) × cos(-1.39114668) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178684869654082 × 6371000     		du = 54.5749585408659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39113812)-sin(-1.39114668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178693291885943-0.178684869654082)×R²
    abs(2.71476250-2.71471456)×8.42223186087177e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.42223186087177e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.42223186087177e-06×40589641000000     		ar = 2976.35698418554m²