Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122165 / 115849
↖ ↑ ↗
← S 79.754330°
E155.536194°		 ← 54.33 m → S 79.754330°
E155.538941°		 →
↑
54.28 m
↓
↑
54.28 m
↓
S 79.754818°
E155.536194°		 ← 54.32 m →
2 949 m²		 S 79.754818°
E155.538941°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122165 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.932048797607422 y=0.883861541748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.932048797607422 × 217)
    floor (0.932048797607422 × 131072)
    floor (122165.5)     		tx = 122165
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883861541748047 × 217)
    floor (0.883861541748047 × 131072)
    floor (115849.5)     		ty = 115849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122165 / 115849 ti = "17/122165/115849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122165/115849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122165 ÷ 217
    122165 ÷ 131072     		x = 0.932044982910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115849 ÷ 217
    115849 ÷ 131072     		y = 0.883857727050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.932044982910156 × 2 - 1) × π
    0.864089965820312 × 3.1415926535     		Λ = 2.71461869
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883857727050781 × 2 - 1) × π
    -0.767715454101562 × 3.1415926535     		Φ = -2.41184923058389
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71461869} λ = 2.71461869}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41184923058389))-π/2
    2×atan(0.089649358856611)-π/2
    2×0.0894103395444688-π/2
    0.178820679088938-1.57079632675     		φ = -1.39197565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71461869} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.536194°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39197565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.754330°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122165 KachelY 115849 2.71461869 -1.39197565 155.536194 -79.754330
    Oben rechts KachelX + 1 122166 KachelY 115849 2.71466663 -1.39197565 155.538941 -79.754330
    Unten links KachelX 122165 KachelY + 1 115850 2.71461869 -1.39198417 155.536194 -79.754818
    Unten rechts KachelX + 1 122166 KachelY + 1 115850 2.71466663 -1.39198417 155.538941 -79.754818
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39197565--1.39198417) × R
    8.51999999995634e-06 × 6371000     		dl = 54.2809199997218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39197565--1.39198417) × R
    8.51999999995634e-06 × 6371000     		dr = 54.2809199997218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71461869-2.71466663) × cos(-1.39197565) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177869179500236 × 6371000     		do = 54.3258257720169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71461869-2.71466663) × cos(-1.39198417) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177860795352488 × 6371000     		du = 54.3232650374866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39197565)-sin(-1.39198417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177869179500236-0.177860795352488)×R²
    abs(2.71466663-2.71461869)×8.38414774809171e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.38414774809171e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.38414774809171e-06×40589641000000     		ar = 2948.78630330953m²