Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122164 / 115703
↖ ↑ ↗
← S 79.682758°
E155.533447°		 ← 54.70 m → S 79.682758°
E155.536194°		 →
↑
54.73 m
↓
↑
54.73 m
↓
S 79.683250°
E155.533447°		 ← 54.70 m →
2 994 m²		 S 79.683250°
E155.536194°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115703 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.932041168212891 y=0.882747650146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.932041168212891 × 217)
    floor (0.932041168212891 × 131072)
    floor (122164.5)     		tx = 122164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.882747650146484 × 217)
    floor (0.882747650146484 × 131072)
    floor (115703.5)     		ty = 115703
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122164 / 115703 ti = "17/122164/115703"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122164/115703.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122164 ÷ 217
    122164 ÷ 131072     		x = 0.932037353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115703 ÷ 217
    115703 ÷ 131072     		y = 0.882743835449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.932037353515625 × 2 - 1) × π
    0.86407470703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.71457075
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.882743835449219 × 2 - 1) × π
    -0.765487670898438 × 3.1415926535     		Φ = -2.40485044323936
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71457075} λ = 2.71457075}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40485044323936))-π/2
    2×atan(0.0902789964344502)-π/2
    2×0.0900349220108795-π/2
    0.180069844021759-1.57079632675     		φ = -1.39072648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71457075} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.533447°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39072648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.682758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122164 KachelY 115703 2.71457075 -1.39072648 155.533447 -79.682758
    Oben rechts KachelX + 1 122165 KachelY 115703 2.71461869 -1.39072648 155.536194 -79.682758
    Unten links KachelX 122164 KachelY + 1 115704 2.71457075 -1.39073507 155.533447 -79.683250
    Unten rechts KachelX + 1 122165 KachelY + 1 115704 2.71461869 -1.39073507 155.536194 -79.683250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39072648--1.39073507) × R
    8.58999999997501e-06 × 6371000     		dl = 54.7268899998408m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39072648--1.39073507) × R
    8.58999999997501e-06 × 6371000     		dr = 54.7268899998408m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71457075-2.71461869) × cos(-1.39072648) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.179098291317684 × 6371000     		do = 54.7012281584034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71457075-2.71461869) × cos(-1.39073507) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.179089840201191 × 6371000     		du = 54.6986469698947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39072648)-sin(-1.39073507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179098291317684-0.179089840201191)×R²
    abs(2.71461869-2.71457075)×8.45111649308561e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.45111649308561e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.45111649308561e-06×40589641000000     		ar = 2993.55746605384m²