Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122164 / 115699
↖ ↑ ↗
← S 79.680790°
E155.533447°		 ← 54.71 m → S 79.680790°
E155.536194°		 →
↑
54.66 m
↓
↑
54.66 m
↓
S 79.681282°
E155.533447°		 ← 54.71 m →
2 991 m²		 S 79.681282°
E155.536194°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115699 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.932041168212891 y=0.882717132568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.932041168212891 × 217)
    floor (0.932041168212891 × 131072)
    floor (122164.5)     		tx = 122164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.882717132568359 × 217)
    floor (0.882717132568359 × 131072)
    floor (115699.5)     		ty = 115699
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122164 / 115699 ti = "17/122164/115699"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122164/115699.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122164 ÷ 217
    122164 ÷ 131072     		x = 0.932037353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115699 ÷ 217
    115699 ÷ 131072     		y = 0.882713317871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.932037353515625 × 2 - 1) × π
    0.86407470703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.71457075
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.882713317871094 × 2 - 1) × π
    -0.765426635742188 × 3.1415926535     		Φ = -2.40465869564088
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71457075} λ = 2.71457075}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40465869564088))-π/2
    2×atan(0.0902963088749661)-π/2
    2×0.0900520944639578-π/2
    0.180104188927916-1.57079632675     		φ = -1.39069214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71457075} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.533447°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39069214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.680790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122164 KachelY 115699 2.71457075 -1.39069214 155.533447 -79.680790
    Oben rechts KachelX + 1 122165 KachelY 115699 2.71461869 -1.39069214 155.536194 -79.680790
    Unten links KachelX 122164 KachelY + 1 115700 2.71457075 -1.39070072 155.533447 -79.681282
    Unten rechts KachelX + 1 122165 KachelY + 1 115700 2.71461869 -1.39070072 155.536194 -79.681282
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39069214--1.39070072) × R
    8.57999999981374e-06 × 6371000     		dl = 54.6631799988133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39069214--1.39070072) × R
    8.57999999981374e-06 × 6371000     		dr = 54.6631799988133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71457075-2.71461869) × cos(-1.39069214) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.179132075974997 × 6371000     		do = 54.7115468623637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71457075-2.71461869) × cos(-1.39070072) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.179123634749604 × 6371000     		du = 54.7089686948515m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39069214)-sin(-1.39070072))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179132075974997-0.179123634749604)×R²
    abs(2.71461869-2.71457075)×8.44122539295222e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.44122539295222e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.44122539295222e-06×40589641000000     		ar = 2990.63666878364m²