Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122162 / 115697
↖ ↑ ↗
← S 79.679806°
E155.527954°		 ← 54.71 m → S 79.679806°
E155.530700°		 →
↑
54.73 m
↓
↑
54.73 m
↓
S 79.680298°
E155.527954°		 ← 54.70 m →
2 994 m²		 S 79.680298°
E155.530700°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122162 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115697 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.932025909423828 y=0.882701873779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.932025909423828 × 217)
    floor (0.932025909423828 × 131072)
    floor (122162.5)     		tx = 122162
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.882701873779297 × 217)
    floor (0.882701873779297 × 131072)
    floor (115697.5)     		ty = 115697
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122162 / 115697 ti = "17/122162/115697"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122162/115697.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122162 ÷ 217
    122162 ÷ 131072     		x = 0.932022094726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115697 ÷ 217
    115697 ÷ 131072     		y = 0.882698059082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.932022094726562 × 2 - 1) × π
    0.864044189453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.71447488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.882698059082031 × 2 - 1) × π
    -0.765396118164062 × 3.1415926535     		Φ = -2.40456282184164
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71447488} λ = 2.71447488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40456282184164))-π/2
    2×atan(0.0903049663401607)-π/2
    2×0.0900606819053931-π/2
    0.180121363810786-1.57079632675     		φ = -1.39067496
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71447488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.527954°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39067496 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.679806°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122162 KachelY 115697 2.71447488 -1.39067496 155.527954 -79.679806
    Oben rechts KachelX + 1 122163 KachelY 115697 2.71452281 -1.39067496 155.530700 -79.679806
    Unten links KachelX 122162 KachelY + 1 115698 2.71447488 -1.39068355 155.527954 -79.680298
    Unten rechts KachelX + 1 122163 KachelY + 1 115698 2.71452281 -1.39068355 155.530700 -79.680298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39067496--1.39068355) × R
    8.59000000019705e-06 × 6371000     		dl = 54.7268900012554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39067496--1.39068355) × R
    8.59000000019705e-06 × 6371000     		dr = 54.7268900012554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71447488-2.71452281) × cos(-1.39067496) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.17914897806266 × 6371000     		do = 54.7052956136729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71447488-2.71452281) × cos(-1.39068355) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.179140527025438 × 6371000     		du = 54.7027149877909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39067496)-sin(-1.39068355))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17914897806266-0.179140527025438)×R²
    abs(2.71452281-2.71447488)×8.45103722280083e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.45103722280083e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.45103722280083e-06×40589641000000     		ar = 2993.78008065443m²