Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122160 / 115698
↖ ↑ ↗
← S 79.680298°
E155.522461°		 ← 54.71 m → S 79.680298°
E155.525207°		 →
↑
54.73 m
↓
↑
54.73 m
↓
S 79.680790°
E155.522461°		 ← 54.71 m →
2 994 m²		 S 79.680790°
E155.525207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.932010650634766 y=0.882709503173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.932010650634766 × 217)
    floor (0.932010650634766 × 131072)
    floor (122160.5)     		tx = 122160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.882709503173828 × 217)
    floor (0.882709503173828 × 131072)
    floor (115698.5)     		ty = 115698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122160 / 115698 ti = "17/122160/115698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122160/115698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122160 ÷ 217
    122160 ÷ 131072     		x = 0.9320068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115698 ÷ 217
    115698 ÷ 131072     		y = 0.882705688476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9320068359375 × 2 - 1) × π
    0.864013671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.71437900
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.882705688476562 × 2 - 1) × π
    -0.765411376953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.40461075874126
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71437900} λ = 2.71437900}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40461075874126))-π/2
    2×atan(0.0903006375038104)-π/2
    2×0.0900563880834264-π/2
    0.180112776166853-1.57079632675     		φ = -1.39068355
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71437900} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.522461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39068355 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.680298°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122160 KachelY 115698 2.71437900 -1.39068355 155.522461 -79.680298
    Oben rechts KachelX + 1 122161 KachelY 115698 2.71442694 -1.39068355 155.525207 -79.680298
    Unten links KachelX 122160 KachelY + 1 115699 2.71437900 -1.39069214 155.522461 -79.680790
    Unten rechts KachelX + 1 122161 KachelY + 1 115699 2.71442694 -1.39069214 155.525207 -79.680790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39068355--1.39069214) × R
    8.58999999997501e-06 × 6371000     		dl = 54.7268899998408m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39068355--1.39069214) × R
    8.58999999997501e-06 × 6371000     		dr = 54.7268899998408m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71437900-2.71442694) × cos(-1.39068355) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.179140527025438 × 6371000     		do = 54.7141280306984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71437900-2.71442694) × cos(-1.39069214) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.179132075974997 × 6371000     		du = 54.7115468623637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39068355)-sin(-1.39069214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179140527025438-0.179132075974997)×R²
    abs(2.71442694-2.71437900)×8.45105044103289e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.45105044103289e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.45105044103289e-06×40589641000000     		ar = 2994.26343648817m²