Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122159 / 115845
↖ ↑ ↗
← S 79.752376°
E155.519715°		 ← 54.32 m → S 79.752376°
E155.522461°		 →
↑
54.34 m
↓
↑
54.34 m
↓
S 79.752864°
E155.519715°		 ← 54.32 m →
2 952 m²		 S 79.752864°
E155.522461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115845 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.932003021240234 y=0.883831024169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.932003021240234 × 217)
    floor (0.932003021240234 × 131072)
    floor (122159.5)     		tx = 122159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883831024169922 × 217)
    floor (0.883831024169922 × 131072)
    floor (115845.5)     		ty = 115845
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122159 / 115845 ti = "17/122159/115845"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122159/115845.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122159 ÷ 217
    122159 ÷ 131072     		x = 0.931999206542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115845 ÷ 217
    115845 ÷ 131072     		y = 0.883827209472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931999206542969 × 2 - 1) × π
    0.863998413085938 × 3.1415926535     		Λ = 2.71433107
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883827209472656 × 2 - 1) × π
    -0.767654418945312 × 3.1415926535     		Φ = -2.4116574829854
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71433107} λ = 2.71433107}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.4116574829854))-π/2
    2×atan(0.0896665505540578)-π/2
    2×0.0894273941476544-π/2
    0.178854788295309-1.57079632675     		φ = -1.39194154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71433107} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.519715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39194154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.752376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122159 KachelY 115845 2.71433107 -1.39194154 155.519715 -79.752376
    Oben rechts KachelX + 1 122160 KachelY 115845 2.71437900 -1.39194154 155.522461 -79.752376
    Unten links KachelX 122159 KachelY + 1 115846 2.71433107 -1.39195007 155.519715 -79.752864
    Unten rechts KachelX + 1 122160 KachelY + 1 115846 2.71437900 -1.39195007 155.522461 -79.752864
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39194154--1.39195007) × R
    8.53000000011761e-06 × 6371000     		dl = 54.3446300007493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39194154--1.39195007) × R
    8.53000000011761e-06 × 6371000     		dr = 54.3446300007493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71433107-2.71437900) × cos(-1.39194154) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.177902745483549 × 6371000     		do = 54.3247435034631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71433107-2.71437900) × cos(-1.39195007) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.177894351547001 × 6371000     		du = 54.322180313959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39194154)-sin(-1.39195007))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177902745483549-0.177894351547001)×R²
    abs(2.71437900-2.71433107)×8.39393654863962e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.39393654863962e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.39393654863962e-06×40589641000000     		ar = 2952.18843777788m²