Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122156 / 115876
↖ ↑ ↗
← S 79.767512°
E155.511475°		 ← 54.25 m → S 79.767512°
E155.514221°		 →
↑
54.22 m
↓
↑
54.22 m
↓
S 79.768000°
E155.511475°		 ← 54.24 m →
2 941 m²		 S 79.768000°
E155.514221°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931980133056641 y=0.884067535400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931980133056641 × 217)
    floor (0.931980133056641 × 131072)
    floor (122156.5)     		tx = 122156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.884067535400391 × 217)
    floor (0.884067535400391 × 131072)
    floor (115876.5)     		ty = 115876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122156 / 115876 ti = "17/122156/115876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122156/115876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122156 ÷ 217
    122156 ÷ 131072     		x = 0.931976318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115876 ÷ 217
    115876 ÷ 131072     		y = 0.884063720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931976318359375 × 2 - 1) × π
    0.86395263671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.71418726
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.884063720703125 × 2 - 1) × π
    -0.76812744140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.41314352687363
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71418726} λ = 2.71418726}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41314352687363))-π/2
    2×atan(0.0895334010821116)-π/2
    2×0.0892953051072752-π/2
    0.17859061021455-1.57079632675     		φ = -1.39220572
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71418726} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.511475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39220572 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.767512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122156 KachelY 115876 2.71418726 -1.39220572 155.511475 -79.767512
    Oben rechts KachelX + 1 122157 KachelY 115876 2.71423519 -1.39220572 155.514221 -79.767512
    Unten links KachelX 122156 KachelY + 1 115877 2.71418726 -1.39221423 155.511475 -79.768000
    Unten rechts KachelX + 1 122157 KachelY + 1 115877 2.71423519 -1.39221423 155.514221 -79.768000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39220572--1.39221423) × R
    8.51000000001711e-06 × 6371000     		dl = 54.217210000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39220572--1.39221423) × R
    8.51000000001711e-06 × 6371000     		dr = 54.217210000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71418726-2.71423519) × cos(-1.39220572) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.17764277345821 × 6371000     		do = 54.2453579180623m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71418726-2.71423519) × cos(-1.39221423) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.177634398802999 × 6371000     		du = 54.2428006163466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39220572)-sin(-1.39221423))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17764277345821-0.177634398802999)×R²
    abs(2.71423519-2.71418726)×8.37465521102976e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.37465521102976e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.37465521102976e-06×40589641000000     		ar = 2940.96263697715m²