Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122156 / 115850
↖ ↑ ↗
← S 79.754818°
E155.511475°		 ← 54.31 m → S 79.754818°
E155.514221°		 →
↑
54.34 m
↓
↑
54.34 m
↓
S 79.755307°
E155.511475°		 ← 54.31 m →
2 951 m²		 S 79.755307°
E155.514221°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115850 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931980133056641 y=0.883869171142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931980133056641 × 217)
    floor (0.931980133056641 × 131072)
    floor (122156.5)     		tx = 122156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883869171142578 × 217)
    floor (0.883869171142578 × 131072)
    floor (115850.5)     		ty = 115850
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122156 / 115850 ti = "17/122156/115850"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122156/115850.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122156 ÷ 217
    122156 ÷ 131072     		x = 0.931976318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115850 ÷ 217
    115850 ÷ 131072     		y = 0.883865356445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931976318359375 × 2 - 1) × π
    0.86395263671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.71418726
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883865356445312 × 2 - 1) × π
    -0.767730712890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.41189716748351
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71418726} λ = 2.71418726}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41189716748351))-π/2
    2×atan(0.0896450614472976)-π/2
    2×0.0894060763964656-π/2
    0.178812152792931-1.57079632675     		φ = -1.39198417
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71418726} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.511475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39198417 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.754818°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122156 KachelY 115850 2.71418726 -1.39198417 155.511475 -79.754818
    Oben rechts KachelX + 1 122157 KachelY 115850 2.71423519 -1.39198417 155.514221 -79.754818
    Unten links KachelX 122156 KachelY + 1 115851 2.71418726 -1.39199270 155.511475 -79.755307
    Unten rechts KachelX + 1 122157 KachelY + 1 115851 2.71423519 -1.39199270 155.514221 -79.755307
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39198417--1.39199270) × R
    8.53000000011761e-06 × 6371000     		dl = 54.3446300007493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39198417--1.39199270) × R
    8.53000000011761e-06 × 6371000     		dr = 54.3446300007493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71418726-2.71423519) × cos(-1.39198417) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.177860795352488 × 6371000     		do = 54.3119335262836m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71418726-2.71423519) × cos(-1.39199270) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.177852401351257 × 6371000     		du = 54.3093703170279m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39198417)-sin(-1.39199270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177860795352488-0.177852401351257)×R²
    abs(2.71423519-2.71418726)×8.39400123095468e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.39400123095468e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.39400123095468e-06×40589641000000     		ar = 2951.49228381186m²