Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122155 / 115853
↖ ↑ ↗
← S 79.756284°
E155.508728°		 ← 54.32 m → S 79.756284°
E155.511475°		 →
↑
54.34 m
↓
↑
54.34 m
↓
S 79.756772°
E155.508728°		 ← 54.31 m →
2 952 m²		 S 79.756772°
E155.511475°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122155 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115853 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931972503662109 y=0.883892059326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931972503662109 × 217)
    floor (0.931972503662109 × 131072)
    floor (122155.5)     		tx = 122155
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883892059326172 × 217)
    floor (0.883892059326172 × 131072)
    floor (115853.5)     		ty = 115853
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122155 / 115853 ti = "17/122155/115853"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122155/115853.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122155 ÷ 217
    122155 ÷ 131072     		x = 0.931968688964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115853 ÷ 217
    115853 ÷ 131072     		y = 0.883888244628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931968688964844 × 2 - 1) × π
    0.863937377929688 × 3.1415926535     		Λ = 2.71413932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883888244628906 × 2 - 1) × π
    -0.767776489257812 × 3.1415926535     		Φ = -2.41204097818237
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71413932} λ = 2.71413932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41204097818237))-π/2
    2×atan(0.089632170455315)-π/2
    2×0.089393288159013-π/2
    0.178786576318026-1.57079632675     		φ = -1.39200975
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71413932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.508728°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39200975 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.756284°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122155 KachelY 115853 2.71413932 -1.39200975 155.508728 -79.756284
    Oben rechts KachelX + 1 122156 KachelY 115853 2.71418726 -1.39200975 155.511475 -79.756284
    Unten links KachelX 122155 KachelY + 1 115854 2.71413932 -1.39201828 155.508728 -79.756772
    Unten rechts KachelX + 1 122156 KachelY + 1 115854 2.71418726 -1.39201828 155.511475 -79.756772
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39200975--1.39201828) × R
    8.53000000011761e-06 × 6371000     		dl = 54.3446300007493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39200975--1.39201828) × R
    8.53000000011761e-06 × 6371000     		dr = 54.3446300007493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71413932-2.71418726) × cos(-1.39200975) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177835623150576 × 6371000     		do = 54.3155767990903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71413932-2.71418726) × cos(-1.39201828) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.17782722911054 × 6371000     		du = 54.3130130432007m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39200975)-sin(-1.39201828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177835623150576-0.17782722911054)×R²
    abs(2.71418726-2.71413932)×8.39404003605271e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.39404003605271e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.39404003605271e-06×40589641000000     		ar = 2951.69026132469m²