Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122152 / 115704
↖ ↑ ↗
← S 79.683250°
E155.500488°		 ← 54.70 m → S 79.683250°
E155.503235°		 →
↑
54.66 m
↓
↑
54.66 m
↓
S 79.683742°
E155.500488°		 ← 54.70 m →
2 990 m²		 S 79.683742°
E155.503235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931949615478516 y=0.882755279541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931949615478516 × 217)
    floor (0.931949615478516 × 131072)
    floor (122152.5)     		tx = 122152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.882755279541016 × 217)
    floor (0.882755279541016 × 131072)
    floor (115704.5)     		ty = 115704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122152 / 115704 ti = "17/122152/115704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122152/115704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122152 ÷ 217
    122152 ÷ 131072     		x = 0.93194580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115704 ÷ 217
    115704 ÷ 131072     		y = 0.88275146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93194580078125 × 2 - 1) × π
    0.8638916015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.71399551
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.88275146484375 × 2 - 1) × π
    -0.7655029296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.40489838013898
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71399551} λ = 2.71399551}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40489838013898))-π/2
    2×atan(0.0902746688429868)-π/2
    2×0.0900306294037628-π/2
    0.180061258807526-1.57079632675     		φ = -1.39073507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71399551} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.500488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39073507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.683250°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122152 KachelY 115704 2.71399551 -1.39073507 155.500488 -79.683250
    Oben rechts KachelX + 1 122153 KachelY 115704 2.71404345 -1.39073507 155.503235 -79.683250
    Unten links KachelX 122152 KachelY + 1 115705 2.71399551 -1.39074365 155.500488 -79.683742
    Unten rechts KachelX + 1 122153 KachelY + 1 115705 2.71404345 -1.39074365 155.503235 -79.683742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39073507--1.39074365) × R
    8.58000000003578e-06 × 6371000     		dl = 54.663180000228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39073507--1.39074365) × R
    8.58000000003578e-06 × 6371000     		dr = 54.663180000228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71399551-2.71404345) × cos(-1.39073507) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.179089840201191 × 6371000     		do = 54.6986469698947m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71399551-2.71404345) × cos(-1.39074365) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.179081398909826 × 6371000     		du = 54.6960687822329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39073507)-sin(-1.39074365))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179089840201191-0.179081398909826)×R²
    abs(2.71404345-2.71399551)×8.44129136523541e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.44129136523541e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.44129136523541e-06×40589641000000     		ar = 2989.93151906505m²