Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122150 / 115707
↖ ↑ ↗
← S 79.684725°
E155.494995°		 ← 54.68 m → S 79.684725°
E155.497742°		 →
↑
54.66 m
↓
↑
54.66 m
↓
S 79.685217°
E155.494995°		 ← 54.68 m →
2 989 m²		 S 79.685217°
E155.497742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122150 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115707 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931934356689453 y=0.882778167724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931934356689453 × 217)
    floor (0.931934356689453 × 131072)
    floor (122150.5)     		tx = 122150
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.882778167724609 × 217)
    floor (0.882778167724609 × 131072)
    floor (115707.5)     		ty = 115707
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122150 / 115707 ti = "17/122150/115707"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122150/115707.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122150 ÷ 217
    122150 ÷ 131072     		x = 0.931930541992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115707 ÷ 217
    115707 ÷ 131072     		y = 0.882774353027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931930541992188 × 2 - 1) × π
    0.863861083984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.71389964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.882774353027344 × 2 - 1) × π
    -0.765548706054688 × 3.1415926535     		Φ = -2.40504219083784
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71389964} λ = 2.71389964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40504219083784))-π/2
    2×atan(0.0902616873132349)-π/2
    2×0.0900177527970319-π/2
    0.180035505594064-1.57079632675     		φ = -1.39076082
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71389964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.494995°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39076082 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.684725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122150 KachelY 115707 2.71389964 -1.39076082 155.494995 -79.684725
    Oben rechts KachelX + 1 122151 KachelY 115707 2.71394757 -1.39076082 155.497742 -79.684725
    Unten links KachelX 122150 KachelY + 1 115708 2.71389964 -1.39076940 155.494995 -79.685217
    Unten rechts KachelX + 1 122151 KachelY + 1 115708 2.71394757 -1.39076940 155.497742 -79.685217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39076082--1.39076940) × R
    8.58000000003578e-06 × 6371000     		dl = 54.663180000228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39076082--1.39076940) × R
    8.58000000003578e-06 × 6371000     		dr = 54.663180000228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71389964-2.71394757) × cos(-1.39076082) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.179064506449173 × 6371000     		do = 54.679501190301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71389964-2.71394757) × cos(-1.39076940) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.179056065118244 × 6371000     		du = 54.6769235283527m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39076082)-sin(-1.39076940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179064506449173-0.179056065118244)×R²
    abs(2.71394757-2.71389964)×8.44133092872679e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.44133092872679e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.44133092872679e-06×40589641000000     		ar = 2988.88496439201m²