Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122149 / 115912
↖ ↑ ↗
← S 79.785062°
E155.492249°		 ← 54.16 m → S 79.785062°
E155.494995°		 →
↑
54.15 m
↓
↑
54.15 m
↓
S 79.785549°
E155.492249°		 ← 54.16 m →
2 933 m²		 S 79.785549°
E155.494995°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122149 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931926727294922 y=0.884342193603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931926727294922 × 217)
    floor (0.931926727294922 × 131072)
    floor (122149.5)     		tx = 122149
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.884342193603516 × 217)
    floor (0.884342193603516 × 131072)
    floor (115912.5)     		ty = 115912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122149 / 115912 ti = "17/122149/115912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122149/115912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122149 ÷ 217
    122149 ÷ 131072     		x = 0.931922912597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115912 ÷ 217
    115912 ÷ 131072     		y = 0.88433837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931922912597656 × 2 - 1) × π
    0.863845825195312 × 3.1415926535     		Λ = 2.71385170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.88433837890625 × 2 - 1) × π
    -0.7686767578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.41486925525995
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71385170} λ = 2.71385170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41486925525995))-π/2
    2×atan(0.0893790239951139)-π/2
    2×0.0891421536023136-π/2
    0.178284307204627-1.57079632675     		φ = -1.39251202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71385170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.492249°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39251202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.785062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122149 KachelY 115912 2.71385170 -1.39251202 155.492249 -79.785062
    Oben rechts KachelX + 1 122150 KachelY 115912 2.71389964 -1.39251202 155.494995 -79.785062
    Unten links KachelX 122149 KachelY + 1 115913 2.71385170 -1.39252052 155.492249 -79.785549
    Unten rechts KachelX + 1 122150 KachelY + 1 115913 2.71389964 -1.39252052 155.494995 -79.785549
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39251202--1.39252052) × R
    8.49999999985585e-06 × 6371000     		dl = 54.1534999990816m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39251202--1.39252052) × R
    8.49999999985585e-06 × 6371000     		dr = 54.1534999990816m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71385170-2.71389964) × cos(-1.39251202) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177341336819399 × 6371000     		do = 54.1646090306186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71385170-2.71389964) × cos(-1.39252052) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177332971543055 × 6371000     		du = 54.162054059901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39251202)-sin(-1.39252052))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177341336819399-0.177332971543055)×R²
    abs(2.71389964-2.71385170)×8.36527634393014e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.36527634393014e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.36527634393014e-06×40589641000000     		ar = 2933.13397476671m²