Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122149 / 115904
↖ ↑ ↗
← S 79.781164°
E155.492249°		 ← 54.19 m → S 79.781164°
E155.494995°		 →
↑
54.15 m
↓
↑
54.15 m
↓
S 79.781651°
E155.492249°		 ← 54.18 m →
2 934 m²		 S 79.781651°
E155.494995°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122149 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931926727294922 y=0.884281158447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931926727294922 × 217)
    floor (0.931926727294922 × 131072)
    floor (122149.5)     		tx = 122149
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.884281158447266 × 217)
    floor (0.884281158447266 × 131072)
    floor (115904.5)     		ty = 115904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122149 / 115904 ti = "17/122149/115904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122149/115904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122149 ÷ 217
    122149 ÷ 131072     		x = 0.931922912597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115904 ÷ 217
    115904 ÷ 131072     		y = 0.88427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931922912597656 × 2 - 1) × π
    0.863845825195312 × 3.1415926535     		Λ = 2.71385170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.88427734375 × 2 - 1) × π
    -0.7685546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.41448576006299
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71385170} λ = 2.71385170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41448576006299))-π/2
    2×atan(0.0894133069947877)-π/2
    2×0.0891761647956013-π/2
    0.178352329591203-1.57079632675     		φ = -1.39244400
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71385170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.492249°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39244400 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.781164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122149 KachelY 115904 2.71385170 -1.39244400 155.492249 -79.781164
    Oben rechts KachelX + 1 122150 KachelY 115904 2.71389964 -1.39244400 155.494995 -79.781164
    Unten links KachelX 122149 KachelY + 1 115905 2.71385170 -1.39245250 155.492249 -79.781651
    Unten rechts KachelX + 1 122150 KachelY + 1 115905 2.71389964 -1.39245250 155.494995 -79.781651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39244400--1.39245250) × R
    8.50000000007789e-06 × 6371000     		dl = 54.1535000004962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39244400--1.39245250) × R
    8.50000000007789e-06 × 6371000     		dr = 54.1535000004962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71385170-2.71389964) × cos(-1.39244400) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177408278251583 × 6371000     		do = 54.18505466708m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71385170-2.71389964) × cos(-1.39245250) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177399913077789 × 6371000     		du = 54.1824997276838m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39244400)-sin(-1.39245250))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177408278251583-0.177399913077789)×R²
    abs(2.71389964-2.71385170)×8.36517379376733e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.36517379376733e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.36517379376733e-06×40589641000000     		ar = 2934.24117841497m²