Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122147 / 115710
↖ ↑ ↗
← S 79.686201°
E155.486755°		 ← 54.68 m → S 79.686201°
E155.489502°		 →
↑
54.66 m
↓
↑
54.66 m
↓
S 79.686692°
E155.486755°		 ← 54.68 m →
2 989 m²		 S 79.686692°
E155.489502°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115710 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931911468505859 y=0.882801055908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931911468505859 × 217)
    floor (0.931911468505859 × 131072)
    floor (122147.5)     		tx = 122147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.882801055908203 × 217)
    floor (0.882801055908203 × 131072)
    floor (115710.5)     		ty = 115710
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122147 / 115710 ti = "17/122147/115710"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122147/115710.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122147 ÷ 217
    122147 ÷ 131072     		x = 0.931907653808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115710 ÷ 217
    115710 ÷ 131072     		y = 0.882797241210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931907653808594 × 2 - 1) × π
    0.863815307617188 × 3.1415926535     		Λ = 2.71375582
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.882797241210938 × 2 - 1) × π
    -0.765594482421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.4051860015367
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71375582} λ = 2.71375582}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.4051860015367))-π/2
    2×atan(0.0902487076502316)-π/2
    2×0.0900048780120361-π/2
    0.180009756024072-1.57079632675     		φ = -1.39078657
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71375582} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.486755°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39078657 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.686201°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122147 KachelY 115710 2.71375582 -1.39078657 155.486755 -79.686201
    Oben rechts KachelX + 1 122148 KachelY 115710 2.71380376 -1.39078657 155.489502 -79.686201
    Unten links KachelX 122147 KachelY + 1 115711 2.71375582 -1.39079515 155.486755 -79.686692
    Unten rechts KachelX + 1 122148 KachelY + 1 115711 2.71380376 -1.39079515 155.489502 -79.686692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39078657--1.39079515) × R
    8.58000000003578e-06 × 6371000     		dl = 54.663180000228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39078657--1.39079515) × R
    8.58000000003578e-06 × 6371000     		dr = 54.663180000228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71375582-2.71380376) × cos(-1.39078657) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.179039172578424 × 6371000     		do = 54.6831717737169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71375582-2.71380376) × cos(-1.39079515) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.179030731207937 × 6371000     		du = 54.6805935618894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39078657)-sin(-1.39079515))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179039172578424-0.179030731207937)×R²
    abs(2.71380376-2.71375582)×8.44137048661153e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.44137048661153e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.44137048661153e-06×40589641000000     		ar = 2989.08559510139m²