Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122144 / 115680
↖ ↑ ↗
← S 79.671438°
E155.478515°		 ← 54.76 m → S 79.671438°
E155.481262°		 →
↑
54.79 m
↓
↑
54.79 m
↓
S 79.671931°
E155.478515°		 ← 54.76 m →
3 000 m²		 S 79.671931°
E155.481262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115680 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931888580322266 y=0.882572174072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931888580322266 × 217)
    floor (0.931888580322266 × 131072)
    floor (122144.5)     		tx = 122144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.882572174072266 × 217)
    floor (0.882572174072266 × 131072)
    floor (115680.5)     		ty = 115680
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122144 / 115680 ti = "17/122144/115680"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122144/115680.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122144 ÷ 217
    122144 ÷ 131072     		x = 0.931884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115680 ÷ 217
    115680 ÷ 131072     		y = 0.882568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931884765625 × 2 - 1) × π
    0.86376953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.71361201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.882568359375 × 2 - 1) × π
    -0.76513671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.4037478945481
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71361201} λ = 2.71361201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.4037478945481))-π/2
    2×atan(0.090378588316178)-π/2
    2×0.0901337078699837-π/2
    0.180267415739967-1.57079632675     		φ = -1.39052891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71361201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.478515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39052891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.671438°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122144 KachelY 115680 2.71361201 -1.39052891 155.478515 -79.671438
    Oben rechts KachelX + 1 122145 KachelY 115680 2.71365995 -1.39052891 155.481262 -79.671438
    Unten links KachelX 122144 KachelY + 1 115681 2.71361201 -1.39053751 155.478515 -79.671931
    Unten rechts KachelX + 1 122145 KachelY + 1 115681 2.71365995 -1.39053751 155.481262 -79.671931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39052891--1.39053751) × R
    8.59999999991423e-06 × 6371000     		dl = 54.7905999994536m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39052891--1.39053751) × R
    8.59999999991423e-06 × 6371000     		dr = 54.7905999994536m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71361201-2.71365995) × cos(-1.39052891) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.179292663348335 × 6371000     		do = 54.7605943797001m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71361201-2.71365995) × cos(-1.39053751) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.179284202697979 × 6371000     		du = 54.7580102793042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39052891)-sin(-1.39053751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179292663348335-0.179284202697979)×R²
    abs(2.71365995-2.71361201)×8.46065035609023e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.46065035609023e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.46065035609023e-06×40589641000000     		ar = 3000.29503007121m²