Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122143 / 115901
↖ ↑ ↗
← S 79.779702°
E155.475769°		 ← 54.18 m → S 79.779702°
E155.478515°		 →
↑
54.22 m
↓
↑
54.22 m
↓
S 79.780190°
E155.475769°		 ← 54.18 m →
2 937 m²		 S 79.780190°
E155.478515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115901 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931880950927734 y=0.884258270263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931880950927734 × 217)
    floor (0.931880950927734 × 131072)
    floor (122143.5)     		tx = 122143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.884258270263672 × 217)
    floor (0.884258270263672 × 131072)
    floor (115901.5)     		ty = 115901
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122143 / 115901 ti = "17/122143/115901"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122143/115901.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122143 ÷ 217
    122143 ÷ 131072     		x = 0.931877136230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115901 ÷ 217
    115901 ÷ 131072     		y = 0.884254455566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931877136230469 × 2 - 1) × π
    0.863754272460938 × 3.1415926535     		Λ = 2.71356408
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.884254455566406 × 2 - 1) × π
    -0.768508911132812 × 3.1415926535     		Φ = -2.41434194936413
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71356408} λ = 2.71356408}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41434194936413))-π/2
    2×atan(0.0894261665095998)-π/2
    2×0.0891889223027976-π/2
    0.178377844605595-1.57079632675     		φ = -1.39241848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71356408} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.475769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39241848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.779702°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122143 KachelY 115901 2.71356408 -1.39241848 155.475769 -79.779702
    Oben rechts KachelX + 1 122144 KachelY 115901 2.71361201 -1.39241848 155.478515 -79.779702
    Unten links KachelX 122143 KachelY + 1 115902 2.71356408 -1.39242699 155.475769 -79.780190
    Unten rechts KachelX + 1 122144 KachelY + 1 115902 2.71361201 -1.39242699 155.478515 -79.780190
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39241848--1.39242699) × R
    8.51000000001711e-06 × 6371000     		dl = 54.217210000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39241848--1.39242699) × R
    8.51000000001711e-06 × 6371000     		dr = 54.217210000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71356408-2.71361201) × cos(-1.39241848) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.177433393378711 × 6371000     		do = 54.181421191945m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71356408-2.71361201) × cos(-1.39242699) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.17742501840206 × 6371000     		du = 54.1788637920734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39241848)-sin(-1.39242699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177433393378711-0.17742501840206)×R²
    abs(2.71361201-2.71356408)×8.37497665170939e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.37497665170939e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.37497665170939e-06×40589641000000     		ar = 2937.49616328364m²