Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 122142 / 115838
↖ ↑ ↗
← S 79.748954°
E155.473022°		 ← 54.35 m → S 79.748954°
E155.475769°		 →
↑
54.34 m
↓
↑
54.34 m
↓
S 79.749443°
E155.473022°		 ← 54.35 m →
2 954 m²		 S 79.749443°
E155.475769°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115838 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931873321533203 y=0.883777618408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931873321533203 × 217)
    floor (0.931873321533203 × 131072)
    floor (122142.5)     		tx = 122142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883777618408203 × 217)
    floor (0.883777618408203 × 131072)
    floor (115838.5)     		ty = 115838
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122142 / 115838 ti = "17/122142/115838"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122142/115838.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122142 ÷ 217
    122142 ÷ 131072     		x = 0.931869506835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115838 ÷ 217
    115838 ÷ 131072     		y = 0.883773803710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931869506835938 × 2 - 1) × π
    0.863739013671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.71351614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883773803710938 × 2 - 1) × π
    -0.767547607421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.41132192468806
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71351614} λ = 2.71351614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41132192468806))-π/2
    2×atan(0.0896966439578533)-π/2
    2×0.0894572474476583-π/2
    0.178914494895317-1.57079632675     		φ = -1.39188183
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71351614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.473022°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39188183 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.748954°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122142 KachelY 115838 2.71351614 -1.39188183 155.473022 -79.748954
    Oben rechts KachelX + 1 122143 KachelY 115838 2.71356408 -1.39188183 155.475769 -79.748954
    Unten links KachelX 122142 KachelY + 1 115839 2.71351614 -1.39189036 155.473022 -79.749443
    Unten rechts KachelX + 1 122143 KachelY + 1 115839 2.71356408 -1.39189036 155.475769 -79.749443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39188183--1.39189036) × R
    8.53000000011761e-06 × 6371000     		dl = 54.3446300007493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39188183--1.39189036) × R
    8.53000000011761e-06 × 6371000     		dr = 54.3446300007493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71351614-2.71356408) × cos(-1.39188183) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177961502676912 × 6371000     		do = 54.3540236465723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71351614-2.71356408) × cos(-1.39189036) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177953108830987 × 6371000     		du = 54.3514599499691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39188183)-sin(-1.39189036))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177961502676912-0.177953108830987)×R²
    abs(2.71356408-2.71351614)×8.39384592526971e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.39384592526971e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.39384592526971e-06×40589641000000     		ar = 2953.77964265606m²