Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122141 / 115897
↖ ↑ ↗
← S 79.777753°
E155.470276°		 ← 54.20 m → S 79.777753°
E155.473022°		 →
↑
54.15 m
↓
↑
54.15 m
↓
S 79.778240°
E155.470276°		 ← 54.20 m →
2 935 m²		 S 79.778240°
E155.473022°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115897 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931865692138672 y=0.884227752685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931865692138672 × 217)
    floor (0.931865692138672 × 131072)
    floor (122141.5)     		tx = 122141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.884227752685547 × 217)
    floor (0.884227752685547 × 131072)
    floor (115897.5)     		ty = 115897
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122141 / 115897 ti = "17/122141/115897"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122141/115897.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122141 ÷ 217
    122141 ÷ 131072     		x = 0.931861877441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115897 ÷ 217
    115897 ÷ 131072     		y = 0.884223937988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931861877441406 × 2 - 1) × π
    0.863723754882812 × 3.1415926535     		Λ = 2.71346820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.884223937988281 × 2 - 1) × π
    -0.768447875976562 × 3.1415926535     		Φ = -2.41415020176565
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71346820} λ = 2.71346820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41415020176565))-π/2
    2×atan(0.0894433154063466)-π/2
    2×0.0892059351212754-π/2
    0.178411870242551-1.57079632675     		φ = -1.39238446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71346820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.470276°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39238446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.777753°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122141 KachelY 115897 2.71346820 -1.39238446 155.470276 -79.777753
    Oben rechts KachelX + 1 122142 KachelY 115897 2.71351614 -1.39238446 155.473022 -79.777753
    Unten links KachelX 122141 KachelY + 1 115898 2.71346820 -1.39239296 155.470276 -79.778240
    Unten rechts KachelX + 1 122142 KachelY + 1 115898 2.71351614 -1.39239296 155.473022 -79.778240
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39238446--1.39239296) × R
    8.50000000007789e-06 × 6371000     		dl = 54.1535000004962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39238446--1.39239296) × R
    8.50000000007789e-06 × 6371000     		dr = 54.1535000004962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71346820-2.71351614) × cos(-1.39238446) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177466873474279 × 6371000     		do = 54.2029511563325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71346820-2.71351614) × cos(-1.39239296) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177458508390283 × 6371000     		du = 54.2003962443627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39238446)-sin(-1.39239296))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177466873474279-0.177458508390283)×R²
    abs(2.71351614-2.71346820)×8.36508399651437e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.36508399651437e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.36508399651437e-06×40589641000000     		ar = 2935.21033676821m²