Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12214 / 12658
↖ ↑ ↗
← S 69.549877°
E 88.374023°		 ← 853.66 m → S 69.549877°
E 88.395996°		 →
↑
853.52 m
↓
↑
853.52 m
↓
S 69.557553°
E 88.374023°		 ← 853.35 m →
728 489 m²		 S 69.557553°
E 88.395996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745513916015625 y=0.772613525390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745513916015625 × 214)
    floor (0.745513916015625 × 16384)
    floor (12214.5)     		tx = 12214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772613525390625 × 214)
    floor (0.772613525390625 × 16384)
    floor (12658.5)     		ty = 12658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12214 / 12658 ti = "14/12214/12658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12214/12658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12214 ÷ 214
    12214 ÷ 16384     		x = 0.7454833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12658 ÷ 214
    12658 ÷ 16384     		y = 0.7725830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7454833984375 × 2 - 1) × π
    0.490966796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.54241768
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7725830078125 × 2 - 1) × π
    -0.545166015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.71268954962537
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54241768} λ = 1.54241768}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71268954962537))-π/2
    2×atan(0.180379998668653)-π/2
    2×0.178460986930395-π/2
    0.356921973860791-1.57079632675     		φ = -1.21387435
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54241768} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.374023°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21387435 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.549877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12214 KachelY 12658 1.54241768 -1.21387435 88.374023 -69.549877
    Oben rechts KachelX + 1 12215 KachelY 12658 1.54280118 -1.21387435 88.395996 -69.549877
    Unten links KachelX 12214 KachelY + 1 12659 1.54241768 -1.21400832 88.374023 -69.557553
    Unten rechts KachelX + 1 12215 KachelY + 1 12659 1.54280118 -1.21400832 88.395996 -69.557553
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21387435--1.21400832) × R
    0.000133970000000039 × 6371000     		dl = 853.522870000247m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21387435--1.21400832) × R
    0.000133970000000039 × 6371000     		dr = 853.522870000247m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54241768-1.54280118) × cos(-1.21387435) × R
    0.000383500000000092 × 0.349391856921296 × 6371000     		do = 853.661612091083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54241768-1.54280118) × cos(-1.21400832) × R
    0.000383500000000092 × 0.349266327018167 × 6371000     		du = 853.354907577662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21387435)-sin(-1.21400832))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349391856921296-0.349266327018167)×R²
    abs(1.54280118-1.54241768)×0.000125529903128474×R²
    0.000383500000000092×0.000125529903128474×6371000²
    0.000383500000000092×0.000125529903128474×40589641000000     		ar = 728488.820593586m²