Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122136 / 115899
↖ ↑ ↗
← S 79.778728°
E155.456543°		 ← 54.20 m → S 79.778728°
E155.459290°		 →
↑
54.22 m
↓
↑
54.22 m
↓
S 79.779215°
E155.456543°		 ← 54.20 m →
2 938 m²		 S 79.779215°
E155.459290°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115899 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931827545166016 y=0.884243011474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931827545166016 × 217)
    floor (0.931827545166016 × 131072)
    floor (122136.5)     		tx = 122136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.884243011474609 × 217)
    floor (0.884243011474609 × 131072)
    floor (115899.5)     		ty = 115899
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122136 / 115899 ti = "17/122136/115899"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122136/115899.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122136 ÷ 217
    122136 ÷ 131072     		x = 0.93182373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115899 ÷ 217
    115899 ÷ 131072     		y = 0.884239196777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93182373046875 × 2 - 1) × π
    0.8636474609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.71322852
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.884239196777344 × 2 - 1) × π
    -0.768478393554688 × 3.1415926535     		Φ = -2.41424607556489
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71322852} λ = 2.71322852}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41424607556489))-π/2
    2×atan(0.0894347405469407)-π/2
    2×0.089197428310737-π/2
    0.178394856621474-1.57079632675     		φ = -1.39240147
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71322852} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.456543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39240147 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.778728°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122136 KachelY 115899 2.71322852 -1.39240147 155.456543 -79.778728
    Oben rechts KachelX + 1 122137 KachelY 115899 2.71327646 -1.39240147 155.459290 -79.778728
    Unten links KachelX 122136 KachelY + 1 115900 2.71322852 -1.39240998 155.456543 -79.779215
    Unten rechts KachelX + 1 122137 KachelY + 1 115900 2.71327646 -1.39240998 155.459290 -79.779215
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39240147--1.39240998) × R
    8.51000000001711e-06 × 6371000     		dl = 54.217210000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39240147--1.39240998) × R
    8.51000000001711e-06 × 6371000     		dr = 54.217210000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71322852-2.71327646) × cos(-1.39240147) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177450133452167 × 6371000     		do = 54.1978383226913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71322852-2.71327646) × cos(-1.39240998) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.1774417585012 × 6371000     		du = 54.1952803970948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39240147)-sin(-1.39240998))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177450133452167-0.1774417585012)×R²
    abs(2.71327646-2.71322852)×8.37495096672747e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.37495096672747e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.37495096672747e-06×40589641000000     		ar = 2938.38624010002m²