Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 122131 / 115861
↖ ↑ ↗
← S 79.760191°
E155.442810°		 ← 54.30 m → S 79.760191°
E155.445557°		 →
↑
54.28 m
↓
↑
54.28 m
↓
S 79.760679°
E155.442810°		 ← 54.29 m →
2 947 m²		 S 79.760679°
E155.445557°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115861 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931789398193359 y=0.883953094482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931789398193359 × 217)
    floor (0.931789398193359 × 131072)
    floor (122131.5)     		tx = 122131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883953094482422 × 217)
    floor (0.883953094482422 × 131072)
    floor (115861.5)     		ty = 115861
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122131 / 115861 ti = "17/122131/115861"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122131/115861.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122131 ÷ 217
    122131 ÷ 131072     		x = 0.931785583496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115861 ÷ 217
    115861 ÷ 131072     		y = 0.883949279785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931785583496094 × 2 - 1) × π
    0.863571166992188 × 3.1415926535     		Λ = 2.71298883
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883949279785156 × 2 - 1) × π
    -0.767898559570312 × 3.1415926535     		Φ = -2.41242447337933
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71298883} λ = 2.71298883}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41242447337933))-π/2
    2×atan(0.0895978035386471)-π/2
    2×0.0893591950389417-π/2
    0.178718390077883-1.57079632675     		φ = -1.39207794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71298883} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.442810°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39207794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.760191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122131 KachelY 115861 2.71298883 -1.39207794 155.442810 -79.760191
    Oben rechts KachelX + 1 122132 KachelY 115861 2.71303677 -1.39207794 155.445557 -79.760191
    Unten links KachelX 122131 KachelY + 1 115862 2.71298883 -1.39208646 155.442810 -79.760679
    Unten rechts KachelX + 1 122132 KachelY + 1 115862 2.71303677 -1.39208646 155.445557 -79.760679
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39207794--1.39208646) × R
    8.51999999995634e-06 × 6371000     		dl = 54.2809199997218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39207794--1.39208646) × R
    8.51999999995634e-06 × 6371000     		dr = 54.2809199997218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71298883-2.71303677) × cos(-1.39207794) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177768519671651 × 6371000     		do = 54.2950816693831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71298883-2.71303677) × cos(-1.39208646) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177760135368936 × 6371000     		du = 54.2925208875218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39207794)-sin(-1.39208646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177768519671651-0.177760135368936)×R²
    abs(2.71303677-2.71298883)×8.38430271546398e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.38430271546398e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.38430271546398e-06×40589641000000     		ar = 2947.11748359869m²