Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122130 / 28367
↖ ↑ ↗
← N 70.888784°
E155.440064°		 ← 99.98 m → N 70.888784°
E155.442810°		 →
↑
100.02 m
↓
↑
100.02 m
↓
N 70.887885°
E155.440064°		 ← 99.98 m →
10 000 m²		 N 70.887885°
E155.442810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931781768798828 y=0.216426849365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931781768798828 × 217)
    floor (0.931781768798828 × 131072)
    floor (122130.5)     		tx = 122130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216426849365234 × 217)
    floor (0.216426849365234 × 131072)
    floor (28367.5)     		ty = 28367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122130 / 28367 ti = "17/122130/28367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122130/28367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122130 ÷ 217
    122130 ÷ 131072     		x = 0.931777954101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28367 ÷ 217
    28367 ÷ 131072     		y = 0.216423034667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931777954101562 × 2 - 1) × π
    0.863555908203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.71294090
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216423034667969 × 2 - 1) × π
    0.567153930664062 × 3.1415926535     		Φ = 1.78176662197787
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71294090} λ = 2.71294090}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78176662197787))-π/2
    2×atan(5.94034149211954)-π/2
    2×1.40401950748127-π/2
    2.80803901496253-1.57079632675     		φ = 1.23724269
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71294090} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.440064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23724269 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.888784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122130 KachelY 28367 2.71294090 1.23724269 155.440064 70.888784
    Oben rechts KachelX + 1 122131 KachelY 28367 2.71298883 1.23724269 155.442810 70.888784
    Unten links KachelX 122130 KachelY + 1 28368 2.71294090 1.23722699 155.440064 70.887885
    Unten rechts KachelX + 1 122131 KachelY + 1 28368 2.71298883 1.23722699 155.442810 70.887885
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23724269-1.23722699) × R
    1.57000000000629e-05 × 6371000     		dl = 100.024700000401m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23724269-1.23722699) × R
    1.57000000000629e-05 × 6371000     		dr = 100.024700000401m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71294090-2.71298883) × cos(1.23724269) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.327402866140799 × 6371000     		do = 99.9764038326338m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71294090-2.71298883) × cos(1.23722699) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.327417700792455 × 6371000     		du = 99.980933771978m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23724269)-sin(1.23722699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327402866140799-0.327417700792455)×R²
    abs(2.71298883-2.71294090)×1.48346516564701e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.48346516564701e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.48346516564701e-05×40589641000000     		ar = 10000.3363536974m²