Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122130 / 115862
↖ ↑ ↗
← S 79.760679°
E155.440064°		 ← 54.28 m → S 79.760679°
E155.442810°		 →
↑
54.28 m
↓
↑
54.28 m
↓
S 79.761167°
E155.440064°		 ← 54.28 m →
2 946 m²		 S 79.761167°
E155.442810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115862 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931781768798828 y=0.883960723876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931781768798828 × 217)
    floor (0.931781768798828 × 131072)
    floor (122130.5)     		tx = 122130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883960723876953 × 217)
    floor (0.883960723876953 × 131072)
    floor (115862.5)     		ty = 115862
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122130 / 115862 ti = "17/122130/115862"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122130/115862.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122130 ÷ 217
    122130 ÷ 131072     		x = 0.931777954101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115862 ÷ 217
    115862 ÷ 131072     		y = 0.883956909179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931777954101562 × 2 - 1) × π
    0.863555908203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.71294090
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883956909179688 × 2 - 1) × π
    -0.767913818359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.41247241027895
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71294090} λ = 2.71294090}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41247241027895))-π/2
    2×atan(0.0895935086006766)-π/2
    2×0.0893549343035202-π/2
    0.17870986860704-1.57079632675     		φ = -1.39208646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71294090} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.440064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39208646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.760679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122130 KachelY 115862 2.71294090 -1.39208646 155.440064 -79.760679
    Oben rechts KachelX + 1 122131 KachelY 115862 2.71298883 -1.39208646 155.442810 -79.760679
    Unten links KachelX 122130 KachelY + 1 115863 2.71294090 -1.39209498 155.440064 -79.761167
    Unten rechts KachelX + 1 122131 KachelY + 1 115863 2.71298883 -1.39209498 155.442810 -79.761167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39208646--1.39209498) × R
    8.51999999995634e-06 × 6371000     		dl = 54.2809199997218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39208646--1.39209498) × R
    8.51999999995634e-06 × 6371000     		dr = 54.2809199997218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71294090-2.71298883) × cos(-1.39208646) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.177760135368936 × 6371000     		do = 54.2811957893663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71294090-2.71298883) × cos(-1.39209498) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.177751751053317 × 6371000     		du = 54.2786355377286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39208646)-sin(-1.39209498))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177760135368936-0.177751751053317)×R²
    abs(2.71298883-2.71294090)×8.38431561916986e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.38431561916986e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.38431561916986e-06×40589641000000     		ar = 2946.36375988466m²