Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12213 / 20327
↖ ↑ ↗
← S 39.698734°
W 45.823974°		 ← 939.90 m → S 39.698734°
W 45.812989°		 →
↑
939.85 m
↓
↑
939.85 m
↓
S 39.707186°
W 45.823974°		 ← 939.78 m →
883 308 m²		 S 39.707186°
W 45.812989°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20327 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372726440429688 y=0.620346069335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372726440429688 × 215)
    floor (0.372726440429688 × 32768)
    floor (12213.5)     		tx = 12213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620346069335938 × 215)
    floor (0.620346069335938 × 32768)
    floor (20327.5)     		ty = 20327
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12213 / 20327 ti = "15/12213/20327"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12213/20327.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12213 ÷ 215
    12213 ÷ 32768     		x = 0.372711181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20327 ÷ 215
    20327 ÷ 32768     		y = 0.620330810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372711181640625 × 2 - 1) × π
    -0.25457763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.79977923
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620330810546875 × 2 - 1) × π
    -0.24066162109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.756060780807526
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79977923} λ = -0.79977923}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.756060780807526))-π/2
    2×atan(0.469512300838732)-π/2
    2×0.438961353566941-π/2
    0.877922707133882-1.57079632675     		φ = -0.69287362
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79977923} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.823974°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69287362 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.698734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12213 KachelY 20327 -0.79977923 -0.69287362 -45.823974 -39.698734
    Oben rechts KachelX + 1 12214 KachelY 20327 -0.79958749 -0.69287362 -45.812989 -39.698734
    Unten links KachelX 12213 KachelY + 1 20328 -0.79977923 -0.69302114 -45.823974 -39.707186
    Unten rechts KachelX + 1 12214 KachelY + 1 20328 -0.79958749 -0.69302114 -45.812989 -39.707186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69287362--0.69302114) × R
    0.000147520000000068 × 6371000     		dl = 939.849920000431m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69287362--0.69302114) × R
    0.000147520000000068 × 6371000     		dr = 939.849920000431m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79977923--0.79958749) × cos(-0.69287362) × R
    0.000191739999999996 × 0.769413667183181 × 6371000     		do = 939.896915972654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79977923--0.79958749) × cos(-0.69302114) × R
    0.000191739999999996 × 0.769319430290659 × 6371000     		du = 939.781798489783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69287362)-sin(-0.69302114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.769413667183181-0.769319430290659)×R²
    abs(-0.79958749--0.79977923)×9.42368925226367e-05×R²
    0.000191739999999996×9.42368925226367e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.42368925226367e-05×40589641000000     		ar = 883307.946309467m²