Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122128 / 28370
↖ ↑ ↗
← N 70.886086°
E155.434570°		 ← 100.01 m → N 70.886086°
E155.437317°		 →
↑
100.02 m
↓
↑
100.02 m
↓
N 70.885187°
E155.434570°		 ← 100.02 m →
10 004 m²		 N 70.885187°
E155.437317°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931766510009766 y=0.216449737548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931766510009766 × 217)
    floor (0.931766510009766 × 131072)
    floor (122128.5)     		tx = 122128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216449737548828 × 217)
    floor (0.216449737548828 × 131072)
    floor (28370.5)     		ty = 28370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122128 / 28370 ti = "17/122128/28370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122128/28370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122128 ÷ 217
    122128 ÷ 131072     		x = 0.9317626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28370 ÷ 217
    28370 ÷ 131072     		y = 0.216445922851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9317626953125 × 2 - 1) × π
    0.863525390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.71284502
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216445922851562 × 2 - 1) × π
    0.567108154296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.78162281127901
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71284502} λ = 2.71284502}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78162281127901))-π/2
    2×atan(5.93948726888278)-π/2
    2×1.40399596386408-π/2
    2.80799192772817-1.57079632675     		φ = 1.23719560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71284502} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.434570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23719560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.886086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122128 KachelY 28370 2.71284502 1.23719560 155.434570 70.886086
    Oben rechts KachelX + 1 122129 KachelY 28370 2.71289296 1.23719560 155.437317 70.886086
    Unten links KachelX 122128 KachelY + 1 28371 2.71284502 1.23717990 155.434570 70.885187
    Unten rechts KachelX + 1 122129 KachelY + 1 28371 2.71289296 1.23717990 155.437317 70.885187
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23719560-1.23717990) × R
    1.56999999998408e-05 × 6371000     		dl = 100.024699998986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23719560-1.23717990) × R
    1.56999999998408e-05 × 6371000     		dr = 100.024699998986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71284502-2.71289296) × cos(1.23719560) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.327447360404955 × 6371000     		do = 100.010852362664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71284502-2.71289296) × cos(1.23717990) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.327462194814536 × 6371000     		du = 100.015383173188m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23719560)-sin(1.23717990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327447360404955-0.327462194814536)×R²
    abs(2.71289296-2.71284502)×1.48344095811659e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48344095811659e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48344095811659e-05×40589641000000     		ar = 10003.7821010366m²