Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122128 / 115856
↖ ↑ ↗
← S 79.757749°
E155.434570°		 ← 54.31 m → S 79.757749°
E155.437317°		 →
↑
54.34 m
↓
↑
54.34 m
↓
S 79.758238°
E155.434570°		 ← 54.31 m →
2 951 m²		 S 79.758238°
E155.437317°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115856 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931766510009766 y=0.883914947509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931766510009766 × 217)
    floor (0.931766510009766 × 131072)
    floor (122128.5)     		tx = 122128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883914947509766 × 217)
    floor (0.883914947509766 × 131072)
    floor (115856.5)     		ty = 115856
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122128 / 115856 ti = "17/122128/115856"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122128/115856.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122128 ÷ 217
    122128 ÷ 131072     		x = 0.9317626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115856 ÷ 217
    115856 ÷ 131072     		y = 0.8839111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9317626953125 × 2 - 1) × π
    0.863525390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.71284502
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8839111328125 × 2 - 1) × π
    -0.767822265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.41218478888123
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71284502} λ = 2.71284502}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41218478888123))-π/2
    2×atan(0.0896192813170616)-π/2
    2×0.089380501731203-π/2
    0.178761003462406-1.57079632675     		φ = -1.39203532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71284502} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.434570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39203532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.757749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122128 KachelY 115856 2.71284502 -1.39203532 155.434570 -79.757749
    Oben rechts KachelX + 1 122129 KachelY 115856 2.71289296 -1.39203532 155.437317 -79.757749
    Unten links KachelX 122128 KachelY + 1 115857 2.71284502 -1.39204385 155.434570 -79.758238
    Unten rechts KachelX + 1 122129 KachelY + 1 115857 2.71289296 -1.39204385 155.437317 -79.758238
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39203532--1.39204385) × R
    8.53000000011761e-06 × 6371000     		dl = 54.3446300007493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39203532--1.39204385) × R
    8.53000000011761e-06 × 6371000     		dr = 54.3446300007493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71284502-2.71289296) × cos(-1.39203532) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177810460672948 × 6371000     		do = 54.3078915307403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71284502-2.71289296) × cos(-1.39204385) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177802066594127 × 6371000     		du = 54.3053277630049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39203532)-sin(-1.39204385))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177810460672948-0.177802066594127)×R²
    abs(2.71289296-2.71284502)×8.39407882050058e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.39407882050058e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.39407882050058e-06×40589641000000     		ar = 2951.272607963m²