Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122126 / 115734
↖ ↑ ↗
← S 79.697996°
E155.429077°		 ← 54.62 m → S 79.697996°
E155.431824°		 →
↑
54.60 m
↓
↑
54.60 m
↓
S 79.698487°
E155.429077°		 ← 54.62 m →
2 982 m²		 S 79.698487°
E155.431824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115734 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931751251220703 y=0.882984161376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931751251220703 × 217)
    floor (0.931751251220703 × 131072)
    floor (122126.5)     		tx = 122126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.882984161376953 × 217)
    floor (0.882984161376953 × 131072)
    floor (115734.5)     		ty = 115734
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122126 / 115734 ti = "17/122126/115734"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122126/115734.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122126 ÷ 217
    122126 ÷ 131072     		x = 0.931747436523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115734 ÷ 217
    115734 ÷ 131072     		y = 0.882980346679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931747436523438 × 2 - 1) × π
    0.863494873046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.71274915
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.882980346679688 × 2 - 1) × π
    -0.765960693359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.40633648712758
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71274915} λ = 2.71274915}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40633648712758))-π/2
    2×atan(0.0901449375169519)-π/2
    2×0.0899019452846326-π/2
    0.179803890569265-1.57079632675     		φ = -1.39099244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71274915} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.429077°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39099244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.697996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122126 KachelY 115734 2.71274915 -1.39099244 155.429077 -79.697996
    Oben rechts KachelX + 1 122127 KachelY 115734 2.71279709 -1.39099244 155.431824 -79.697996
    Unten links KachelX 122126 KachelY + 1 115735 2.71274915 -1.39100101 155.429077 -79.698487
    Unten rechts KachelX + 1 122127 KachelY + 1 115735 2.71279709 -1.39100101 155.431824 -79.698487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39099244--1.39100101) × R
    8.57000000009656e-06 × 6371000     		dl = 54.5994700006152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39099244--1.39100101) × R
    8.57000000009656e-06 × 6371000     		dr = 54.5994700006152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71274915-2.71279709) × cos(-1.39099244) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178836625244374 × 6371000     		do = 54.6213086043298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71274915-2.71279709) × cos(-1.39100101) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178828193396628 × 6371000     		du = 54.6187333009925m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39099244)-sin(-1.39100101))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178836625244374-0.178828193396628)×R²
    abs(2.71279709-2.71274915)×8.43184774559913e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.43184774559913e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.43184774559913e-06×40589641000000     		ar = 2982.22419546994m²