Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 122125 / 115731
↖ ↑ ↗
← S 79.696523°
E155.426330°		 ← 54.63 m → S 79.696523°
E155.429077°		 →
↑
54.60 m
↓
↑
54.60 m
↓
S 79.697014°
E155.426330°		 ← 54.63 m →
2 983 m²		 S 79.697014°
E155.429077°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115731 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931743621826172 y=0.882961273193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931743621826172 × 217)
    floor (0.931743621826172 × 131072)
    floor (122125.5)     		tx = 122125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.882961273193359 × 217)
    floor (0.882961273193359 × 131072)
    floor (115731.5)     		ty = 115731
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122125 / 115731 ti = "17/122125/115731"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122125/115731.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122125 ÷ 217
    122125 ÷ 131072     		x = 0.931739807128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115731 ÷ 217
    115731 ÷ 131072     		y = 0.882957458496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931739807128906 × 2 - 1) × π
    0.863479614257812 × 3.1415926535     		Λ = 2.71270121
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.882957458496094 × 2 - 1) × π
    -0.765914916992188 × 3.1415926535     		Φ = -2.40619267642872
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71270121} λ = 2.71270121}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40619267642872))-π/2
    2×atan(0.0901579022556267)-π/2
    2×0.0899148055047169-π/2
    0.179829611009434-1.57079632675     		φ = -1.39096672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71270121} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.426330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39096672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.696523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122125 KachelY 115731 2.71270121 -1.39096672 155.426330 -79.696523
    Oben rechts KachelX + 1 122126 KachelY 115731 2.71274915 -1.39096672 155.429077 -79.696523
    Unten links KachelX 122125 KachelY + 1 115732 2.71270121 -1.39097529 155.426330 -79.697014
    Unten rechts KachelX + 1 122126 KachelY + 1 115732 2.71274915 -1.39097529 155.429077 -79.697014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39096672--1.39097529) × R
    8.57000000009656e-06 × 6371000     		dl = 54.5994700006152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39096672--1.39097529) × R
    8.57000000009656e-06 × 6371000     		dr = 54.5994700006152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71270121-2.71274915) × cos(-1.39096672) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178861930547542 × 6371000     		do = 54.6290374952758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71270121-2.71274915) × cos(-1.39097529) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178853498739218 × 6371000     		du = 54.6264622039788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39096672)-sin(-1.39097529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178861930547542-0.178853498739218)×R²
    abs(2.71274915-2.71270121)×8.43180832449386e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.43180832449386e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.43180832449386e-06×40589641000000     		ar = 2982.64618918434m²