Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12212 / 20317
↖ ↑ ↗
← S 39.614152°
W 45.834961°		 ← 941.10 m → S 39.614152°
W 45.823974°		 →
↑
941.06 m
↓
↑
941.06 m
↓
S 39.622615°
W 45.834961°		 ← 940.98 m →
885 575 m²		 S 39.622615°
W 45.823974°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20317 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372695922851562 y=0.620040893554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372695922851562 × 215)
    floor (0.372695922851562 × 32768)
    floor (12212.5)     		tx = 12212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620040893554688 × 215)
    floor (0.620040893554688 × 32768)
    floor (20317.5)     		ty = 20317
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12212 / 20317 ti = "15/12212/20317"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12212/20317.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12212 ÷ 215
    12212 ÷ 32768     		x = 0.3726806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20317 ÷ 215
    20317 ÷ 32768     		y = 0.620025634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3726806640625 × 2 - 1) × π
    -0.254638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.79997098
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620025634765625 × 2 - 1) × π
    -0.24005126953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.754143304822723
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79997098} λ = -0.79997098}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.754143304822723))-π/2
    2×atan(0.470413443083363)-π/2
    2×0.439699471341028-π/2
    0.879398942682055-1.57079632675     		φ = -0.69139738
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79997098} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.834961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69139738 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.614152°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12212 KachelY 20317 -0.79997098 -0.69139738 -45.834961 -39.614152
    Oben rechts KachelX + 1 12213 KachelY 20317 -0.79977923 -0.69139738 -45.823974 -39.614152
    Unten links KachelX 12212 KachelY + 1 20318 -0.79997098 -0.69154509 -45.834961 -39.622615
    Unten rechts KachelX + 1 12213 KachelY + 1 20318 -0.79977923 -0.69154509 -45.823974 -39.622615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69139738--0.69154509) × R
    0.000147710000000023 × 6371000     		dl = 941.060410000147m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69139738--0.69154509) × R
    0.000147710000000023 × 6371000     		dr = 941.060410000147m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79997098--0.79977923) × cos(-0.69139738) × R
    0.000191750000000046 × 0.770355777964203 × 6371000     		do = 941.096854825581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79997098--0.79977923) × cos(-0.69154509) × R
    0.000191750000000046 × 0.770261587554728 × 6371000     		du = 940.981788124393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69139738)-sin(-0.69154509))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.770355777964203-0.770261587554728)×R²
    abs(-0.79977923--0.79997098)×9.41904094751145e-05×R²
    0.000191750000000046×9.41904094751145e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.41904094751145e-05×40589641000000     		ar = 885574.85130392m²