Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12212 / 12665
↖ ↑ ↗
← S 69.603549°
E 88.330078°		 ← 851.52 m → S 69.603549°
E 88.352051°		 →
↑
851.36 m
↓
↑
851.36 m
↓
S 69.611205°
E 88.330078°		 ← 851.21 m →
724 814 m²		 S 69.611205°
E 88.352051°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12665 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745391845703125 y=0.773040771484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745391845703125 × 214)
    floor (0.745391845703125 × 16384)
    floor (12212.5)     		tx = 12212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773040771484375 × 214)
    floor (0.773040771484375 × 16384)
    floor (12665.5)     		ty = 12665
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12212 / 12665 ti = "14/12212/12665"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12212/12665.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12212 ÷ 214
    12212 ÷ 16384     		x = 0.745361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12665 ÷ 214
    12665 ÷ 16384     		y = 0.77301025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.745361328125 × 2 - 1) × π
    0.49072265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.54165069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77301025390625 × 2 - 1) × π
    -0.5460205078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.71537401600409
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54165069} λ = 1.54165069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71537401600409))-π/2
    2×atan(0.179896423987221)-π/2
    2×0.177992610952137-π/2
    0.355985221904275-1.57079632675     		φ = -1.21481110
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54165069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.330078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21481110 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.603549°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12212 KachelY 12665 1.54165069 -1.21481110 88.330078 -69.603549
    Oben rechts KachelX + 1 12213 KachelY 12665 1.54203419 -1.21481110 88.352051 -69.603549
    Unten links KachelX 12212 KachelY + 1 12666 1.54165069 -1.21494473 88.330078 -69.611205
    Unten rechts KachelX + 1 12213 KachelY + 1 12666 1.54203419 -1.21494473 88.352051 -69.611205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21481110--1.21494473) × R
    0.000133630000000107 × 6371000     		dl = 851.35673000068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21481110--1.21494473) × R
    0.000133630000000107 × 6371000     		dr = 851.35673000068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54165069-1.54203419) × cos(-1.21481110) × R
    0.000383500000000092 × 0.348513990833184 × 6371000     		do = 851.51674075212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54165069-1.54203419) × cos(-1.21494473) × R
    0.000383500000000092 × 0.348388735844664 × 6371000     		du = 851.210707931651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21481110)-sin(-1.21494473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348513990833184-0.348388735844664)×R²
    abs(1.54203419-1.54165069)×0.000125254988520063×R²
    0.000383500000000092×0.000125254988520063×6371000²
    0.000383500000000092×0.000125254988520063×40589641000000     		ar = 724814.237476737m²