Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12212 / 12644
↖ ↑ ↗
← S 69.442128°
E 88.330078°		 ← 857.97 m → S 69.442128°
E 88.352051°		 →
↑
857.79 m
↓
↑
857.79 m
↓
S 69.449842°
E 88.330078°		 ← 857.66 m →
735 823 m²		 S 69.449842°
E 88.352051°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12644 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745391845703125 y=0.771759033203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745391845703125 × 214)
    floor (0.745391845703125 × 16384)
    floor (12212.5)     		tx = 12212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771759033203125 × 214)
    floor (0.771759033203125 × 16384)
    floor (12644.5)     		ty = 12644
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12212 / 12644 ti = "14/12212/12644"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12212/12644.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12212 ÷ 214
    12212 ÷ 16384     		x = 0.745361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12644 ÷ 214
    12644 ÷ 16384     		y = 0.771728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.745361328125 × 2 - 1) × π
    0.49072265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.54165069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771728515625 × 2 - 1) × π
    -0.54345703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.70732061686792
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54165069} λ = 1.54165069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70732061686792))-π/2
    2×atan(0.181351051177522)-π/2
    2×0.179401280183912-π/2
    0.358802560367823-1.57079632675     		φ = -1.21199377
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54165069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.330078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21199377 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.442128°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12212 KachelY 12644 1.54165069 -1.21199377 88.330078 -69.442128
    Oben rechts KachelX + 1 12213 KachelY 12644 1.54203419 -1.21199377 88.352051 -69.442128
    Unten links KachelX 12212 KachelY + 1 12645 1.54165069 -1.21212841 88.330078 -69.449842
    Unten rechts KachelX + 1 12213 KachelY + 1 12645 1.54203419 -1.21212841 88.352051 -69.449842
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21199377--1.21212841) × R
    0.000134639999999964 × 6371000     		dl = 857.791439999769m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21199377--1.21212841) × R
    0.000134639999999964 × 6371000     		dr = 857.791439999769m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54165069-1.54203419) × cos(-1.21199377) × R
    0.000383500000000092 × 0.35115329769298 × 6371000     		do = 857.965302457564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54165069-1.54203419) × cos(-1.21212841) × R
    0.000383500000000092 × 0.35102722865756 × 6371000     		du = 857.657280693806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21199377)-sin(-1.21212841))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35115329769298-0.35102722865756)×R²
    abs(1.54203419-1.54165069)×0.000126069035420284×R²
    0.000383500000000092×0.000126069035420284×6371000²
    0.000383500000000092×0.000126069035420284×40589641000000     		ar = 735823.184159975m²