Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122115 / 115878
↖ ↑ ↗
← S 79.768488°
E155.398865°		 ← 54.25 m → S 79.768488°
E155.401611°		 →
↑
54.22 m
↓
↑
54.22 m
↓
S 79.768975°
E155.398865°		 ← 54.25 m →
2 941 m²		 S 79.768975°
E155.401611°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122115 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115878 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931667327880859 y=0.884082794189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931667327880859 × 217)
    floor (0.931667327880859 × 131072)
    floor (122115.5)     		tx = 122115
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.884082794189453 × 217)
    floor (0.884082794189453 × 131072)
    floor (115878.5)     		ty = 115878
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122115 / 115878 ti = "17/122115/115878"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122115/115878.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122115 ÷ 217
    122115 ÷ 131072     		x = 0.931663513183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115878 ÷ 217
    115878 ÷ 131072     		y = 0.884078979492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931663513183594 × 2 - 1) × π
    0.863327026367188 × 3.1415926535     		Λ = 2.71222184
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.884078979492188 × 2 - 1) × π
    -0.768157958984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.41323940067287
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71222184} λ = 2.71222184}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41323940067287))-π/2
    2×atan(0.0895248175862637)-π/2
    2×0.0892867898650231-π/2
    0.178573579730046-1.57079632675     		φ = -1.39222275
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71222184} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.398865°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39222275 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.768488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122115 KachelY 115878 2.71222184 -1.39222275 155.398865 -79.768488
    Oben rechts KachelX + 1 122116 KachelY 115878 2.71226978 -1.39222275 155.401611 -79.768488
    Unten links KachelX 122115 KachelY + 1 115879 2.71222184 -1.39223126 155.398865 -79.768975
    Unten rechts KachelX + 1 122116 KachelY + 1 115879 2.71226978 -1.39223126 155.401611 -79.768975
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39222275--1.39223126) × R
    8.51000000001711e-06 × 6371000     		dl = 54.217210000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39222275--1.39223126) × R
    8.51000000001711e-06 × 6371000     		dr = 54.217210000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71222184-2.71226978) × cos(-1.39222275) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177626014293943 × 6371000     		do = 54.2515568589426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71222184-2.71226978) × cos(-1.39223126) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177617639612989 × 6371000     		du = 54.2489990158149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39222275)-sin(-1.39223126))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177626014293943-0.177617639612989)×R²
    abs(2.71226978-2.71222184)×8.37468095413185e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.37468095413185e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.37468095413185e-06×40589641000000     		ar = 2941.29871160977m²