Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122111 / 115930
↖ ↑ ↗
← S 79.793826°
E155.387879°		 ← 54.11 m → S 79.793826°
E155.390625°		 →
↑
54.09 m
↓
↑
54.09 m
↓
S 79.794312°
E155.387879°		 ← 54.10 m →
2 927 m²		 S 79.794312°
E155.390625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115930 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931636810302734 y=0.884479522705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931636810302734 × 217)
    floor (0.931636810302734 × 131072)
    floor (122111.5)     		tx = 122111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.884479522705078 × 217)
    floor (0.884479522705078 × 131072)
    floor (115930.5)     		ty = 115930
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122111 / 115930 ti = "17/122111/115930"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122111/115930.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122111 ÷ 217
    122111 ÷ 131072     		x = 0.931632995605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115930 ÷ 217
    115930 ÷ 131072     		y = 0.884475708007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931632995605469 × 2 - 1) × π
    0.863265991210938 × 3.1415926535     		Λ = 2.71203010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.884475708007812 × 2 - 1) × π
    -0.768951416015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.41573211945311
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71203010} λ = 2.71203010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41573211945311))-π/2
    2×atan(0.0893019352990095)-π/2
    2×0.0890656753344656-π/2
    0.178131350668931-1.57079632675     		φ = -1.39266498
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71203010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.387879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39266498 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.793826°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122111 KachelY 115930 2.71203010 -1.39266498 155.387879 -79.793826
    Oben rechts KachelX + 1 122112 KachelY 115930 2.71207803 -1.39266498 155.390625 -79.793826
    Unten links KachelX 122111 KachelY + 1 115931 2.71203010 -1.39267347 155.387879 -79.794312
    Unten rechts KachelX + 1 122112 KachelY + 1 115931 2.71207803 -1.39267347 155.390625 -79.794312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39266498--1.39267347) × R
    8.49000000013866e-06 × 6371000     		dl = 54.0897900008834m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39266498--1.39267347) × R
    8.49000000013866e-06 × 6371000     		dr = 54.0897900008834m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71203010-2.71207803) × cos(-1.39266498) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.177190799252477 × 6371000     		do = 54.1073421565906m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71203010-2.71207803) × cos(-1.39267347) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.177182443587444 × 6371000     		du = 54.1047906537542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39266498)-sin(-1.39267347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177190799252477-0.177182443587444)×R²
    abs(2.71207803-2.71203010)×8.35566503276652e-06×R²
    4.79299999995852e-05×8.35566503276652e-06×6371000²
    4.79299999995852e-05×8.35566503276652e-06×40589641000000     		ar = 2926.5857697137m²