Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122110 / 115634
↖ ↑ ↗
← S 79.648761°
E155.385132°		 ← 54.88 m → S 79.648761°
E155.387879°		 →
↑
54.92 m
↓
↑
54.92 m
↓
S 79.649255°
E155.385132°		 ← 54.88 m →
3 014 m²		 S 79.649255°
E155.387879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122110 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931629180908203 y=0.882221221923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931629180908203 × 217)
    floor (0.931629180908203 × 131072)
    floor (122110.5)     		tx = 122110
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.882221221923828 × 217)
    floor (0.882221221923828 × 131072)
    floor (115634.5)     		ty = 115634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122110 / 115634 ti = "17/122110/115634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122110/115634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122110 ÷ 217
    122110 ÷ 131072     		x = 0.931625366210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115634 ÷ 217
    115634 ÷ 131072     		y = 0.882217407226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931625366210938 × 2 - 1) × π
    0.863250732421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.71198216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.882217407226562 × 2 - 1) × π
    -0.764434814453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.40154279716557
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71198216} λ = 2.71198216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40154279716557))-π/2
    2×atan(0.0905781017971937)-π/2
    2×0.0903316013290208-π/2
    0.180663202658042-1.57079632675     		φ = -1.39013312
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71198216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.385132°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39013312 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.648761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122110 KachelY 115634 2.71198216 -1.39013312 155.385132 -79.648761
    Oben rechts KachelX + 1 122111 KachelY 115634 2.71203010 -1.39013312 155.387879 -79.648761
    Unten links KachelX 122110 KachelY + 1 115635 2.71198216 -1.39014174 155.385132 -79.649255
    Unten rechts KachelX + 1 122111 KachelY + 1 115635 2.71203010 -1.39014174 155.387879 -79.649255
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39013312--1.39014174) × R
    8.62000000001473e-06 × 6371000     		dl = 54.9180200000938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39013312--1.39014174) × R
    8.62000000001473e-06 × 6371000     		dr = 54.9180200000938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71198216-2.71203010) × cos(-1.39013312) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.179682025827692 × 6371000     		do = 54.8795157035942m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71198216-2.71203010) × cos(-1.39014174) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.179673546113733 × 6371000     		du = 54.8769257806834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39013312)-sin(-1.39014174))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179682025827692-0.179673546113733)×R²
    abs(2.71203010-2.71198216)×8.47971395842584e-06×R²
    4.79400000004127e-05×8.47971395842584e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×8.47971395842584e-06×40589641000000     		ar = 3013.80322440165m²