Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12211 / 20323
↖ ↑ ↗
← S 39.664914°
W 45.845947°		 ← 940.41 m → S 39.664914°
W 45.834961°		 →
↑
940.36 m
↓
↑
940.36 m
↓
S 39.673370°
W 45.845947°		 ← 940.29 m →
884 266 m²		 S 39.673370°
W 45.834961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372665405273438 y=0.620223999023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372665405273438 × 215)
    floor (0.372665405273438 × 32768)
    floor (12211.5)     		tx = 12211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620223999023438 × 215)
    floor (0.620223999023438 × 32768)
    floor (20323.5)     		ty = 20323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12211 / 20323 ti = "15/12211/20323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12211/20323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12211 ÷ 215
    12211 ÷ 32768     		x = 0.372650146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20323 ÷ 215
    20323 ÷ 32768     		y = 0.620208740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372650146484375 × 2 - 1) × π
    -0.25469970703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.80016273
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620208740234375 × 2 - 1) × π
    -0.24041748046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.755293790413605
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80016273} λ = -0.80016273}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.755293790413605))-π/2
    2×atan(0.469872550399619)-π/2
    2×0.439256492286381-π/2
    0.878512984572762-1.57079632675     		φ = -0.69228334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80016273} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.845947°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69228334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.664914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12211 KachelY 20323 -0.80016273 -0.69228334 -45.845947 -39.664914
    Oben rechts KachelX + 1 12212 KachelY 20323 -0.79997098 -0.69228334 -45.834961 -39.664914
    Unten links KachelX 12211 KachelY + 1 20324 -0.80016273 -0.69243094 -45.845947 -39.673370
    Unten rechts KachelX + 1 12212 KachelY + 1 20324 -0.79997098 -0.69243094 -45.834961 -39.673370
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69228334--0.69243094) × R
    0.000147600000000025 × 6371000     		dl = 940.359600000162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69228334--0.69243094) × R
    0.000147600000000025 × 6371000     		dr = 940.359600000162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80016273--0.79997098) × cos(-0.69228334) × R
    0.000191750000000046 × 0.769790574951133 × 6371000     		do = 940.406380640597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80016273--0.79997098) × cos(-0.69243094) × R
    0.000191750000000046 × 0.769696353997196 × 6371000     		du = 940.291276625095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69228334)-sin(-0.69243094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.769790574951133-0.769696353997196)×R²
    abs(-0.79997098--0.80016273)×9.42209539370742e-05×R²
    0.000191750000000046×9.42209539370742e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.42209539370742e-05×40589641000000     		ar = 884266.049959061m²