Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12211 / 12666
↖ ↑ ↗
← S 69.611205°
E 88.308106°		 ← 851.19 m → S 69.611205°
E 88.330078°		 →
↑
851.10 m
↓
↑
851.10 m
↓
S 69.618860°
E 88.308106°		 ← 850.88 m →
724 318 m²		 S 69.618860°
E 88.330078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12666 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745330810546875 y=0.773101806640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745330810546875 × 214)
    floor (0.745330810546875 × 16384)
    floor (12211.5)     		tx = 12211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773101806640625 × 214)
    floor (0.773101806640625 × 16384)
    floor (12666.5)     		ty = 12666
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12211 / 12666 ti = "14/12211/12666"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12211/12666.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12211 ÷ 214
    12211 ÷ 16384     		x = 0.74530029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12666 ÷ 214
    12666 ÷ 16384     		y = 0.7730712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74530029296875 × 2 - 1) × π
    0.4906005859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.54126720
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7730712890625 × 2 - 1) × π
    -0.546142578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.71575751120105
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54126720} λ = 1.54126720}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71575751120105))-π/2
    2×atan(0.179827447799535)-π/2
    2×0.177925796241477-π/2
    0.355851592482954-1.57079632675     		φ = -1.21494473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54126720} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.308106°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21494473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.611205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12211 KachelY 12666 1.54126720 -1.21494473 88.308106 -69.611205
    Oben rechts KachelX + 1 12212 KachelY 12666 1.54165069 -1.21494473 88.330078 -69.611205
    Unten links KachelX 12211 KachelY + 1 12667 1.54126720 -1.21507832 88.308106 -69.618860
    Unten rechts KachelX + 1 12212 KachelY + 1 12667 1.54165069 -1.21507832 88.330078 -69.618860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21494473--1.21507832) × R
    0.000133589999999906 × 6371000     		dl = 851.101889999399m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21494473--1.21507832) × R
    0.000133589999999906 × 6371000     		dr = 851.101889999399m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54126720-1.54165069) × cos(-1.21494473) × R
    0.000383489999999931 × 0.348388735844664 × 6371000     		do = 851.188512084933m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54126720-1.54165069) × cos(-1.21507832) × R
    0.000383489999999931 × 0.348263512130842 × 6371000     		du = 850.882563655264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21494473)-sin(-1.21507832))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348388735844664-0.348263512130842)×R²
    abs(1.54165069-1.54126720)×0.000125223713822176×R²
    0.000383489999999931×0.000125223713822176×6371000²
    0.000383489999999931×0.000125223713822176×40589641000000     		ar = 724317.955814405m²