Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 122108 / 115635
↖ ↑ ↗
← S 79.649255°
E155.379639°		 ← 54.87 m → S 79.649255°
E155.382385°		 →
↑
54.85 m
↓
↑
54.85 m
↓
S 79.649748°
E155.379639°		 ← 54.86 m →
3 010 m²		 S 79.649748°
E155.382385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122108 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115635 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931613922119141 y=0.882228851318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931613922119141 × 217)
    floor (0.931613922119141 × 131072)
    floor (122108.5)     		tx = 122108
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.882228851318359 × 217)
    floor (0.882228851318359 × 131072)
    floor (115635.5)     		ty = 115635
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122108 / 115635 ti = "17/122108/115635"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122108/115635.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122108 ÷ 217
    122108 ÷ 131072     		x = 0.931610107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115635 ÷ 217
    115635 ÷ 131072     		y = 0.882225036621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931610107421875 × 2 - 1) × π
    0.86322021484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.71188629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.882225036621094 × 2 - 1) × π
    -0.764450073242188 × 3.1415926535     		Φ = -2.40159073406519
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71188629} λ = 2.71188629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40159073406519))-π/2
    2×atan(0.0905737598678902)-π/2
    2×0.0903272947310439-π/2
    0.180654589462088-1.57079632675     		φ = -1.39014174
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71188629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.379639°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39014174 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.649255°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122108 KachelY 115635 2.71188629 -1.39014174 155.379639 -79.649255
    Oben rechts KachelX + 1 122109 KachelY 115635 2.71193422 -1.39014174 155.382385 -79.649255
    Unten links KachelX 122108 KachelY + 1 115636 2.71188629 -1.39015035 155.379639 -79.649748
    Unten rechts KachelX + 1 122109 KachelY + 1 115636 2.71193422 -1.39015035 155.382385 -79.649748
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39014174--1.39015035) × R
    8.6100000000755e-06 × 6371000     		dl = 54.854310000481m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39014174--1.39015035) × R
    8.6100000000755e-06 × 6371000     		dr = 54.854310000481m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71188629-2.71193422) × cos(-1.39014174) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.179673546113733 × 6371000     		do = 54.8654787786217m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71188629-2.71193422) × cos(-1.39015035) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.179665076223703 × 6371000     		du = 54.8628923958081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39014174)-sin(-1.39015035))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179673546113733-0.179665076223703)×R²
    abs(2.71193422-2.71188629)×8.46989003061571e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.46989003061571e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.46989003061571e-06×40589641000000     		ar = 3009.537043986m²