Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122107 / 115642
↖ ↑ ↗
← S 79.652708°
E155.376892°		 ← 54.86 m → S 79.652708°
E155.379639°		 →
↑
54.85 m
↓
↑
54.85 m
↓
S 79.653202°
E155.376892°		 ← 54.86 m →
3 009 m²		 S 79.653202°
E155.379639°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122107 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115642 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931606292724609 y=0.882282257080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931606292724609 × 217)
    floor (0.931606292724609 × 131072)
    floor (122107.5)     		tx = 122107
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.882282257080078 × 217)
    floor (0.882282257080078 × 131072)
    floor (115642.5)     		ty = 115642
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122107 / 115642 ti = "17/122107/115642"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122107/115642.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122107 ÷ 217
    122107 ÷ 131072     		x = 0.931602478027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115642 ÷ 217
    115642 ÷ 131072     		y = 0.882278442382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931602478027344 × 2 - 1) × π
    0.863204956054688 × 3.1415926535     		Λ = 2.71183835
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.882278442382812 × 2 - 1) × π
    -0.764556884765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.40192629236253
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71183835} λ = 2.71183835}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40192629236253))-π/2
    2×atan(0.0905433721899491)-π/2
    2×0.0902971542309423-π/2
    0.180594308461885-1.57079632675     		φ = -1.39020202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71183835} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.376892°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39020202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.652708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122107 KachelY 115642 2.71183835 -1.39020202 155.376892 -79.652708
    Oben rechts KachelX + 1 122108 KachelY 115642 2.71188629 -1.39020202 155.379639 -79.652708
    Unten links KachelX 122107 KachelY + 1 115643 2.71183835 -1.39021063 155.376892 -79.653202
    Unten rechts KachelX + 1 122108 KachelY + 1 115643 2.71188629 -1.39021063 155.379639 -79.653202
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39020202--1.39021063) × R
    8.60999999985346e-06 × 6371000     		dl = 54.8543099990664m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39020202--1.39021063) × R
    8.60999999985346e-06 × 6371000     		dr = 54.8543099990664m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71183835-2.71188629) × cos(-1.39020202) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.179614246766472 × 6371000     		do = 54.8588142331564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71183835-2.71188629) × cos(-1.39021063) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.179605776783207 × 6371000     		du = 54.8562272822498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39020202)-sin(-1.39021063))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179614246766472-0.179605776783207)×R²
    abs(2.71188629-2.71183835)×8.46998326531345e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.46998326531345e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.46998326531345e-06×40589641000000     		ar = 3009.17144930548m²